ポイントにおける\(q\)-コベクトルたちの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ポイントにおける\(q\)-コベクトルたちの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\( m\): \(\in M_1\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(*f^*_m\): \(: \Lambda_q (T_{f (m)}M_2) \to \Lambda_q (T_mM_1)\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(q = 0\)である時は、\(\forall t \in \Lambda_q (T_{f (m)}M_2) (f^*_m (t) = t \circ f (m))\)
\(0 \lt q\)である時は、\(\forall t \in \Lambda_q (T_{f (m)}M_2), \forall v_1, ..., v_q \in T_mM_1 (f^*_m (t) (v_1, ..., v_q) = t (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_q)))\)
//
2: 注
任意の\(q\)-コベクトルは\((0, q)\)-テンソルであるところ、任意のポイントにおける当該\(q\)-コベクトルの\(f\)によるプルバックは、当該ポイントにおける\((0, q)\)-テンソルの\(f\)によるプルバックである。問題は、当該プルバックが本当に\(\Lambda_q (T_mM_1)\)内にあるか否かである。
\(f^*_m\)は本当に\(\Lambda_q (T_mM_1)\)の中へのものであることを見よう。
\(f^*_m\)は\(T^0_q (T_mM_1)\)の中へのものである、\((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義に対する"注"内で見られたとおり。
問題は、\(f^*_m\)が本当にアンチシンメトリック（反対称）であるか否かである。
\(q = 0\)である時、\(f^*_m (t) = t \circ f (m)\)は空虚にアンチシンメトリック（反対称）である。
\(0 \lt q\)であると仮定しよう。
\(\sigma \in S_q\)を任意のもの、ここで、\(S_q\)はq-シンメトリックグループ（対称群）、としよう。
\(f^*_m (t) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = t (d f_m (v_{\sigma_1}), ..., d f_m (v_{\sigma_q})) = sgn \sigma t (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_q))\)、なぜなら、\(t\)はアンチシンメトリック（反対称）である、\(= sgn \sigma f^*_m (t) (v_1, ..., v_q)\)、それが意味するのは、\(f^*_m (t)\)はアンチシンメトリック（反対称）であるということ。
