\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックはマルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、任意のマルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックは当該マルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(m_1\): \(\in M_1\)
\(t\): \(\in \Lambda_q (T_{f (m_1)}M_2)\)
\(t'\): \(\in \Lambda_{q'} (T_{f (m_1)}M_2)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^*_{m_1} (t \wedge t') = (f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t')\)
//
これは、\(q = 0\)または\(q' = 0\)である時も成立する。
2: 注
ある系として、\(f^*_{m_1} (t \wedge t' \wedge ... \wedge t'') = (f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t') \wedge ... \wedge (f^*_{m_1} t'')\): \(f^*_{m_1} (t \wedge t' \wedge t'') = f^*_{m_1} ((t \wedge t') \wedge t'') = (f^*_{m_1} (t \wedge t')) \wedge (f^*_{m_1} t'') = ((f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t')) \wedge (f^*_{m_1} t'') = (f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t') \wedge (f^*_{m_1} t'')\)、等々と続く。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^*_{m_1} (t \wedge t') (v_1, ..., v_{q + q'})\)を計算する; ステップ2: \((f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t') (v_1, ..., v_{q + q'})\)を計算する; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(q = 0\)としよう。
\(f^*_{m_1} (t \wedge t') = f^*_{m_1} (t t') = (t \circ f (m_1)) f^*_{m_1} t'\)、なぜなら、プルバックはリニア（線形）である。
\(q' = 0\)としよう。
\(f^*_{m_1} (t \wedge t') = f^*_{m_1} (t t') = f^*_{m_1} (t' t) = (t' \circ f (m_1)) f^*_{m_1} t\)。
\(0 \lt q\)および\(0 \lt q'\)としよう。
\((v_1, ..., v_{q + q'}) \in T_{m_1}M_1 \times ... \times T_{m_1}M_1\)を任意のものとしよう。
\(f^*_{m_1} (t \wedge t') (v_1, ..., v_{q + q'}) = t \wedge t' (d f_{m_1} v_1, ..., d f_{m_1} v_{q + q'}) = (q + q')! / (q! q'!) Asym (t \otimes t') (d f_{m_1} v_1, ..., d f_{m_1} v_{q + q'}) = (q + q')! / (q! q'!) 1 / (q + q')! \sum_{\sigma \in S_{q + q'}} sgn \sigma t \otimes t' (d f_{m_1} v_{\sigma_1}, ..., d f_{m_1} v_{\sigma_{q + q'}}) = 1 / (q! q'!) \sum_{\sigma \in S_{q + q'}} sgn \sigma t (d f_{m_1} v_{\sigma_1}, ..., d f_{m_1} v_{\sigma_q}) t' (d f_{m_1} v_{\sigma_{q + 1}}, ..., d f_{m_1} v_{\sigma_{q + q'}})\)。
ステップ2:
\(q = 0\)としよう。
\((f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t') = (t \circ f (m_1)) (f^*_{m_1} t')\)。
\(q' = 0\)としよう。
\((f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t') = (f^*_{m_1} t) (t' \circ f (m_1)) = (t' \circ f (m_1)) f^*_{m_1} t\)。
\(0 \lt q\)および\(0 \lt q'\)としよう。
\((f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t') (v_1, ..., v_{q + q'}) = (q + q')! / (q! q'!) Asym ((f^*_{m_1} t) \otimes (f^*_{m_1} t')) (v_1, ..., v_{q + q'}) = (q + q')! / (q! q'!) 1 / (q + q')! \sum_{\sigma \in S_{q + q'}} sgn \sigma (f^*_{m_1} t) \otimes (f^*_{m_1} t') (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_{q + q'}}) = 1 / (q! q'!) \sum_{\sigma \in S_{q + q'}} sgn \sigma (f^*_{m_1} t) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) (f^*_{m_1} t') (v_{\sigma_{q + 1}}, ..., v_{\sigma_{q + q'}}) = 1 / (q! q'!) \sum_{\sigma \in S_{q + q'}} sgn \sigma t (d f_{m_1} v_{\sigma_1}, ..., d f_{m_1} v_{\sigma_q}) t' (d f_{m_1} v_{\sigma_{q + 1}}, ..., d f_{m_1} v_{\sigma_{q + q'}})\)。
ステップ3:
ステップ1の結果とステップ2の結果は同一である。
したがって、\(f^*_{m_1} (t \wedge t') = (f^*_{m_1} t) \wedge (f^*_{m_1} t')\)。
