メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間マップ（写像）および\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の要素たちによるドメイン（定義域）のカウンタブル（可算）カバー（被覆）に対して、もしも、各ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）および\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意の要素たちによる当該ドメイン（定義域）の任意のカウンタブル（可算）カバー（被覆）に対して、もしも、各ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M_1, A_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{M_{1, j} \in A_1 \vert j \in J\}\): で、\(\cup_{j \in J} M_{1, j} = M_1\)を満たすもの
\(\{(M_{1, j}, A_{1, j}) \vert j \in J\}\): \((M_{1, j}, A_{1, j}) = \text{ 当該メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (f \vert_{M_{1, j}}: M_{1, j} \to M_2 \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\})\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a \in A_2\)を取り、\(f^{-1} (a) = \cup_{j \in J} {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a)\)を見、\(f^{-1} (a) \in A_1\)を見る。
ステップ1:
\(a \in A_2\)を任意のものとしよう。
\(f^{-1} (a) = \cup_{j \in J} {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a)\)であることを見よう。
各\(p \in f^{-1} (a)\)に対して、\(p \in M_{1, j}\)、ある\(j\)に対して、\(f (p) = f \vert_{M_{1, j}} (p) \in a\)、したがって、\(p \in {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a)\)、したがって、\(p \in \cup_{j \in J} {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a)\)。各\(p \in \cup_{j \in J} {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a)\)に対して、\(p \in {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a)\)、ある\(j\)に対して、\(f \vert_{M_{1, j}} (p) = f (p) \in a\)、したがって、\(p \in f^{-1} (a)\)。
\(f \vert_{M_{1, j}}\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\({f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a) \in A_{1, j}\)、したがって、\(= a_j \cap M_{1, j}\)、ここで、\(a_j \in A_1\)、しかし、\(M_{1, j} \in A_1\)であるから、\(a_j \cap M_{1, j} \in A_1\)、そして、\(\cup_{j \in J} {f \vert_{M_{1, j}}}^{-1} (a) \in A_1\)。
