メトリックスペース（計量付き空間）、メトリックスペース（計量付き空間）の中へのコーシーシーケンス（列）、正数に対して、サブシーケンス（部分列）で\(j\)-番目要素と'\(j + 1\)'-番目要素間距離が数字の'\(j + 1\)'-乗より小さいものがあることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、当該メトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のコーシーシーケンス（列）、任意の正数に対して、サブシーケンス（部分列）で、各\(j\)に対して、\(j\)-番目要素と'\(j + 1\)'-番目要素間距離が当該数字の'\(j + 1\)'-乗より小さいものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \to M\), \(\in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
\(p\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt p\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \forall j, l \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \lt l (f (j) \lt f (l)) (\forall j \in \mathbb{N} (dist (s \circ f (j + 1), s \circ f (j)) \lt p^{j + 1}))\)
//
2: 注
通常は、\(p\)は\(0 \lt p \lt 1\)であるように取られる、それが要求されるわけではない。
本命題に対する動機は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題が成立するところ、もしも、\(s \circ f\)がコンバージ（収束）する場合、\(s\)はコンバージ（収束）する、そして、\(s \circ f\)のほうがコンバージ（収束）することをより容易に証明できるかもしれない。
3: 証明
全体戦略: \(f\)をインダクティブ（帰納的）に定義する; ステップ1: \(f (0)\)および\(f (1)\)を定義する; ステップ2: \(f (0), ..., f (n - 1)\)が既に定義されたと仮定し、\(f (n)\)を定義する; ステップ3: \(f\)は本命題に対するコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(f (0)\)および\(f (1)\)を定義しよう。
以下を満たすある\(N_0 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_0 \lt j, l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s (l), s (j)) \lt p^{0 + 1}\)、がある、なぜなら、\(s\)はコーシーである。
\(f (0) := N_0 + 1\)としよう。
以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt j, l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s (l), s (j)) \lt p^{1 + 1}\)、がある、なぜなら、\(s\)はコーシーである。
\(f (1) := max (f (0), N_1) + 1\)としよう。
\(f (0) \lt f (1)\)。
ステップ2:
\(f (0), ..., f (n - 1)\)が既に定義され、\(f (0) \lt ... \lt f (n - 1)\)であると仮定しよう。
以下を満たすある\(N_n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_n \lt j, l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s (l), s (j)) \lt p^{n + 1}\)、がある、なぜなら、\(s\)はコーシーである。
\(f (n) := max (f (n - 1), N_n) + 1\)としよう。
\(f (n - 1) \lt f (n)\)、したがって、\(f (0) \lt ... \lt f (n)\)。
ステップ3:
\(j, l \in \mathbb{N}\)を、\(j \lt l\)を満たす任意のものとしよう。
\(f (0) \lt ... \lt f (l)\)、したがって、\(f (j) \lt f (l)\)。
\(j \in \mathbb{N}\)を任意のものとしよう。
\(N_j \lt f (j) \lt f (j + 1)\)であるから、\(dist (s \circ f (j + 1), s \circ f (j)) \lt p^{j + 1}\)。
したがって、\(f\)は当該コンディションたちを満たす。
