メジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)はコンプリート（完備）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方でほとんどいたる所の定義を知っている。
- 読者は、エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、当該メトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のコーシーシーケンス（列）、任意の正数に対して、サブシーケンス（部分列）で、各\(j\)に対して、\(j\)-番目要素と'\(j + 1\)'-番目要素間距離が当該数字の'\(j + 1\)'-乗より小さいものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、ルベーグインテグラル（積分）に対するモノトーンコンバージェンス（単調収束）定理を認めている。
- 読者は、ルベーグインテグラル（積分）に対するドミネイテッドコンバージェンス（支配された収束）定理を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、任意のドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）および任意のコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）および\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意の要素たちによる当該ドメイン（定義域）の任意のカウンタブル（可算）カバー（被覆）に対して、もしも、各ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）でサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されたものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該リストリクテッド（制限された）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されたものであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）の任意のサブセット（部分集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものの中への値バウンデッド（有界）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束点）は値バウンデッド（有界）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)はコンプリート（完備）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\(p\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(1 \le p \lt \infty\)を満たすもの
\(L^p (M, A, \mu, F)\): で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(L^\infty (M, A, \mu, F)\): で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(L^p (M, A, \mu, F) \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(L^\infty (M, A, \mu, F) \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のコーシーシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to L^p (M, A, \mu, F)\)およびその\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)バージョンたちの1つ\(s': \mathbb{N} \to \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)のことを考え、以下を満たすあるサブシーケンス（部分列）\(s \circ f\)、つまり、\(\Vert s \circ f (j + 1) - s \circ f (j) \Vert \lt (1 / 2)^{j + 1}\)、を見つける; ステップ2: \(g: M \to [0, \infty] := (lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p\)を定義し、\(g\)はインテグラブル（積分可能）であることを見る; ステップ3: \(lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j)\)はある\(h\)へほとんどいたる所でコンバージ（収束）することを見る; ステップ4: \(s \circ f\)は\([h]\)へコンバージ（収束）することを見る; ステップ5: 任意のコーシーシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to L^\infty (M, A, \mu, F)\)およびその\(\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)バージョンたちの1つ\(s': \mathbb{N} \to \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)のことを考え、各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、以下を満たすある\(N_j\)、つまり、各\(N_j \lt n, p\)に対して、\(\Vert s (n) - s (p) \Vert \lt 1 / j\)、および各\(N_j \lt n, p\)に対して、\(S_{j, (n, p)} := \{m \in M \vert 1 / j \lt \vert (s' (n) - s' (p)) (m) \vert\}\)を定義し、\(S_j := \cup_{N_j \lt n, p} S_{j, (n, p)}\)および\(S := \cup_j S_j\)を定義する; ステップ6: \(\{m \in M \vert 1 / j \lt \vert s' (n) (m) - h (m) \vert\}\)はローカルにネグリジブル（無視可能）であることを見る。
ステップ1:
\(s: \mathbb{N} \to L^p (M, A, \mu, F)\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
各\(s (j)\)は、\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)のいくつかの要素たちのイクイバレンス（同値）クラスであり、あるレプリゼンタティブ（代表）要素\(s' (j) \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)を選ぼう、\(s (j) = [s' (j)]\)、したがって、私たちは、あるシーケンス（列）\(s': \mathbb{N} \to \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)を持つ: チョイス（選択）公理を使う。
以下を満たすある\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)、つまり、\(s \circ f: \mathbb{N} \to L^p (M, A, \mu, F)\)は\(s\)の以下を満たすサブシーケンス（部分列）、つまり、各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(\Vert s \circ f (j + 1) - s \circ f (j) \Vert \lt (1 / 2)^{j + 1}\)、である、がある、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、当該メトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のコーシーシーケンス（列）、任意の正数に対して、サブシーケンス（部分列）で、各\(j\)に対して、\(j\)-番目要素と'\(j + 1\)'-番目要素間距離が当該数字の'\(j + 1\)'-乗より小さいものがあるという命題によって。
\(lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \Vert s \circ f (j + 1) - s \circ f (j) \Vert \lt lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} (1 / 2)^{j + 1} = lim_{l \to \infty} ((1 / 2)^1 - (1 / 2)^{l + 2}) / (1 - 1 / 2) = ((1 / 2)^1) / (1 - 1 / 2) \lt \infty\)。
ステップ2:
\(g: M \to [0, \infty] := (lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p\)、ここで、\([0, \infty]\)は\(\overline{\mathbb{R}}\)のメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの、を定義しよう（エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を参照のこと）。
\(g\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
\(s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j)\)はメジャラブル（測定可能）である。
\(\vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られている事実として。
\(\sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert\)はメジャラブル（測定可能）である。
\(lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert\)は\(M\)全体でコンバージ（収束）し（\(\infty\)コンバージェンス（収束）も許して）、メジャラブル（測定可能）である、\(: M \to [0, \infty]\)として、よく知られている事実として。
\((lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p\)はメジャラブル（測定可能）である、なぜなら、\(f': [0, \infty] \to [0, \infty], r \mapsto r^p\)はメジャラブル（測定可能）である、なぜなら、\([0, \infty]\)は、\(\overline{\mathbb{R}}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーによって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つ、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）でサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されたものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該リストリクテッド（制限された）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されたものであるという命題によって、そして、\([0, \infty]\)の各オープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq [0, \infty]\)は\(U\)または\(U \cup \{\infty\}\)、ここで、\(U \subseteq [0, \infty)\)はオープンサブセット（開部分集合）、である、そして、\(f'^{-1} (U')\)は\({f' \vert_{[0, \infty)}}^{-1} (U)\)または\({f' \vert_{[0, \infty)}}^{-1} (U) \cup \{\infty\}\)である、それは、オープン（開）である（なぜなら、\(f' \vert_{[0, \infty)}\)はコンティニュアス（連続）である）、そして、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）である、そして、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題が適用できる。
\(g\)はインテグラブル（積分可能）であることを見よう。
\(\int_M g d \mu = \int_M (lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p d \mu = \int_M lim_{l \to \infty} (\sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p d \mu\)、なぜなら、累乗ファンクション（関数）はコンティニュアス（連続）である、\(= lim_{l \to \infty} \int_M (\sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p d \mu\)、ルベーグインテグラル（積分）に対するモノトーンコンバージェンス（単調収束）定理によって、\(= lim_{l \to \infty} \Vert \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert \Vert^p\): \(s' \circ f (j + 1), s' \circ f (j) \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)、\(s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)（それは、ベクトルたちスペース（空間）である）、\(\vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)（よく知られている事実）、そして、\(\sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)（それは、ベクトルたちスペース（空間）である）。
\(\le lim_{l \to \infty} (\sum_{j \in \{0, ..., l\}} \Vert \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert \Vert)^p = lim_{l \to \infty} (\sum_{j \in \{0, ..., l\}} \Vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \Vert)^p = (lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \Vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \Vert)^p\)、なぜなら、累乗ファンクション（関数）はコンティニュアス（連続）である、\(\lt \infty\): \(\Vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \Vert = \Vert [s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j)] \Vert = \Vert [s' \circ f (j + 1)] - [s' \circ f (j)] \Vert = \Vert s \circ f (j + 1) - s \circ f (j) \Vert\)、定義によって。
ステップ3:
ステップ2が含意するのは、\((lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert)^p \lt_{a.e.} \infty\)、ここで、それは、\(M \setminus N\)上方であるとしよう、ここで、\(\mu (N) = 0\)。
したがって、\(lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert \lt_{\text{ over } M \setminus N} \infty\)、それが含意するのは、\(lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j)\)は、\(M \setminus N\)上方で\(F\)内でコンバージ（収束）する、よく知られているとおり。
\(h: M \to F, m \mapsto s' \circ f (0) (m) + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \text{ 、 } m \in M \setminus N \text{ である時 }; \mapsto 0 \text{ 、 } m \in N\text{ である時 }\)。
\(h\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
私たちは、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題を使う、以降で言及することなく。paragraph>
\(h \vert_{M \setminus N}\)はメジャラブル（測定可能）である、なぜなら、\(s' \circ f (0) \vert_{M \setminus N}\)および\((\sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j)) \vert_{M \setminus N}\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、任意のドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）および任意のコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって、ところ、\((lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j)) \vert_{M \setminus S}\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られている事実として。
\(h \vert_N\)はメジャラブル（測定可能）である、明らかに。
したがって、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）および\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意の要素たちによる当該ドメイン（定義域）の任意のカウンタブル（可算）カバー（被覆）に対して、もしも、各ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって、\(h\)はメジャラブル（測定可能）である。
\(\vert h \vert^p\)はインテグラブル（積分可能）である、なぜなら、\(M \setminus N\)上方で、\(\vert h \vert = \vert s' \circ f (0) (m) + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert = \vert lim_{l \to \infty} (s' \circ f (0) (m) + \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m)) \vert = lim_{l \to \infty} \vert s' \circ f (0) (m) + \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert\)、なぜなら、絶対値を取るマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、\(\le lim_{l \to \infty} (\vert s' \circ f (0) (m) \vert + \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert) = \vert s' \circ f (0) (m) \vert + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert\)、そして、\(N\)上方で、\(\vert h \vert = 0 \le \vert s' \circ f (0) (m) \vert + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert\)、しかし、\(\vert s' \circ f (0) (m) \vert, lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)、なぜなら、\(g\)はインテグラブル（積分可能）である、したがって、\(\vert s' \circ f (0) (m) \vert + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) (m) - s' \circ f (j) (m) \vert \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)。
したがって、\(h \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)。
\(M \setminus N\)上方で、\(h = s' \circ f (0) + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) = lim_{l \to \infty} (s' \circ f (0) + (s' \circ f (1) - s' \circ f (0)) + (s' \circ f (2) - s' \circ f (1)) + ... + (s' \circ f (l + 1) - s' \circ f (l))) = lim_{l \to \infty} s' \circ f (l + 1)\)、したがって、\(M \setminus N\)上方で、\(s' \circ f\)はコンバージ（収束）する。
ステップ4:
\(s \circ f\)は\([h]\)へコンバージ（収束）することを見よう。
\(M \setminus N\)上方で、\(\vert h - s' \circ f (n) \vert = \vert s' \circ f (0) + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) - s' \circ f (n) \vert = \vert lim_{l \to \infty} (s' \circ f (0) + \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) - s' \circ f (n)) \vert = lim_{l \to \infty} \vert (s' \circ f (0) + \sum_{j \in \{0, ..., l\}} s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) - s' \circ f (n)) \vert\)、なぜなら、絶対値を取るマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、\( \le lim_{l \to \infty} (\vert s' \circ f (0) \vert + \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert + \vert s' \circ f (n) \vert) = \vert s' \circ f (0) \vert + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert + \vert s' \circ f (n) \vert\)、しかし、\(\vert s' \circ f (0) \vert, lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert, \vert s' \circ f (n) \vert \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)、なぜなら、\(lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られているとおり、そして、\(g\)はインテグラブル（積分可能）である、したがって、\(\vert s' \circ f (0) \vert + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert + \vert s' \circ f (n) \vert \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)。
したがって、\(\vert h - s' \circ f (n) \vert^p \le (\vert s' \circ f (0) \vert + lim_{l \to \infty} \sum_{j \in \{0, ..., l\}} \vert s' \circ f (j + 1) - s' \circ f (j) \vert + \vert s' \circ f (n) \vert)^p\)、ここで、右辺は\(M\)上方で、したがって\(M \setminus N\)上方で、インテグラブル（積分可能）である。
したがって、ルベーグインテグラル（積分）に対するドミネイテッドコンバージェンス（支配された収束）定理によって、\(lim_{n \to \infty} \int_{M \setminus N} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu = \int_{M \setminus N} lim_{n \to \infty} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu\)。
しかし、\(M \setminus N\)上方で、\(h = lim_{l \to \infty} s' \circ f (l + 1)\)、したがって、そこ上方で、\(lim_{n \to \infty} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p = lim_{n \to \infty} \vert lim_{l \to \infty} s' \circ f (l + 1) - s' \circ f (n) \vert^p = 0\)。
したがって、\(\int_M lim_{n \to \infty} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu = \int_{M \setminus N} lim_{n \to \infty} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu + \int_{N} lim_{n \to \infty} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu = \int_{M \setminus N} 0 \mu + \int_{N} lim_{n \to \infty} \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu = 0\)、なぜなら、\(\mu (N) = 0\)。
したがって、\(lim_{n \to \infty} \int_M \vert h - s' \circ f (n) \vert^p d \mu = 0\)。
それが意味するのは、\(lim_{n \to \infty} \Vert h - s' \circ f (n) \Vert = 0\)、それが意味するのは、\(lim_{n \to \infty} \Vert [h - s' \circ f (n)] \Vert = lim_{n \to \infty} \Vert [h] - [s' \circ f (n)] \Vert = lim_{n \to \infty} \Vert [h] - s \circ f (n) \Vert = 0\)、それが意味するのは、\(s \circ f\)は\([h]\)へコンバージ（収束）する。
任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題によって、\(s\)は\([h]\)へコンバージ（収束）する。
ステップ5:
\(s: \mathbb{N} \to L^\infty (M, A, \mu, F)\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
各\(s (j)\)は、\(\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)のいくつかの要素たちのイクイバレンス（同値）クラスであり、あるレプリゼンタティブ（代表）要素\(s' (j) \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)を選ぼう、\(s (j) = [s' (j)]\)、したがって、私たちはあるシーケンス（列）\(s': \mathbb{N} \to \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)を持つ: チョイス（選択）公理を使う。
各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、以下を満たすある\(N_j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n, p\)を満たす各\(n, p \in \mathbb{N}\)に対して、\(\Vert s (n) - s (p) \Vert \lt 1 / j\)、がある。
\(\Vert s (n) - s (p) \Vert = \Vert s' (n) - s' (p) \Vert = inf \{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r \land \{m \in M \vert r \lt \vert (s' (n) - s' (p)) (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\}\).
\(S_{j, (n, p)} := \{m \in M \vert 1 / j \lt \vert (s' (n) - s' (p)) (m) \vert\}\)としよう、それはローカルにネグリジブル（無視可能）である、なぜなら、\(\Vert s (n) - s (p) \Vert \lt 1 / j\)。
\(S_{j, (n, p)} \in A\)、なぜなら、\(\vert (s' (n) - s' (p)) \vert\)はメジャラブル（測定可能）であり\(S_{j, (n, p)} = \vert (s' (n) - s' (p)) \vert^{-1} ((1 / j, \infty))\)。
各\(m \in M \setminus S_{j, (n, p)}\)に対して、\(\vert (s' (n) - s' (p)) (m) \vert \le 1 / j\)。
\(S_j := \cup_{N_j \lt n, p} S_{j, (n, p)}\)としよう、それは、ローカルにネグリジブル（無視可能）である、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題によって、なぜなら、\(\{(n, p) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \vert N_j \lt n, p\}\)はカウンタブル（可算）である。
\(S_j \in A\)。
\(S := \cup_j S_j\)としよう、それは、ローカルにネグリジブル（無視可能）である、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題によって。
\(S \in A\)。
ステップ6:
\(M \setminus S\)上方で\(s'\)はユニフォーム（一様）にコーシーであることを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(1 / j \lt \epsilon\)、がある。
各\(m \in M \setminus S\)に対して、\(m \notin S_{j, (n, p)}\)、各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)および\(N_j \lt n, p\)を満たす各\(n, p \in \mathbb{N}\)に対して、したがって、\(m \in M \setminus S_{j, (n, p)}\)。
したがって、\(\vert (s' (n) - s' (p)) (m) \vert \le 1 / j \lt \epsilon\)、\(N_j \lt n, p\)を満たす各\(n, p \in \mathbb{N}\)に対して、ここで、\(N_j\)は\(m\)に依存しない。
したがって、\(M \setminus S\)上方で、\(s'\)はユニフォーム（一様）にコーシーである。
したがって、\(s'\)は\(M \setminus S\)上方である\(h: M \setminus S \to F\)へユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）する、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題によって。
\(h: M \setminus S \to F\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られている事実として: メジャラブルファンクション（測定可能関数）たちの任意のシーケンス（列）のリミット（極限）はメジャラブル（測定可能）である。
その\(h\)を\(h: M \to F\)を拡張し、各\(m \in S\)に対して\(h (m) = 0\)としよう。
\(h \vert_S\)は明らかにメジャラブル（測定可能）である。
\(h\)はメジャラブル（測定可能）である、なぜなら、\(M \setminus S, S \in A\)であり、\(h \vert_{M \setminus S}\)および\(h \vert_S\)はメジャラブル（測定可能）であり、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）および\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意の要素たちによる当該ドメイン（定義域）の任意のカウンタブル（可算）カバー（被覆）に対して、もしも、各ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を適用できる。
\(h\)は値バウンデッド（有界）である、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものの中への値バウンデッド（有界）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束点）は値バウンデッド（有界）であるという命題によって。
したがって、\(h \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)。
各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、各\(m \in M \setminus S\)に対して、\(\vert s' (n) (m) - h (m) \vert \lt 1 / j\)、がある。
したがって、\(\{m \in M \vert 1 / j \lt \vert s' (n) (m) - h (m) \vert\} \subseteq S\)、それは、ローカルにネグリジブル（無視可能）である、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）の任意のサブセット（部分集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題によって、なぜなら、\(S\)はローカルにネグリジブル（無視可能）である。
それが意味するのは、\(\Vert s' (n) - h \Vert \le 1 / j\)。
それが意味するのは、\(\Vert s' (n) - h \Vert\)は\(0\)へコンバージ（収束）する。
したがって、\(\Vert s' (n) - h \Vert = \Vert [s' (n) - h] \Vert = \Vert [s' (n)] - [h] \Vert = \Vert s (n) - [h] \Vert\)は\(0\)へコンバージ（収束）する。
それが意味するのは、\(s\)は\([h]\)へコンバージ（収束）する。
したがって、\(L^\infty (M, A, \mu, F)\)はコンプリート（完備）である。
