ユークリディアンセット（集合）の中へのマップ（写像）およびキャラクタリスティックファンクション（特性関数）に対して、サブセット（部分集合）のマップ（写像）にキャラクタリスティックファンクション（特性関数）を掛けたものの下でのプリイメージ（前像）はこれであることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンセット（集合）の中への任意のマップ（写像）および任意のキャラクタリスティックファンクション（特性関数）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）に当該キャラクタリスティックファンクション（特性関数）を掛けたものの下でのプリイメージ（前像）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンセット（集合） }\)
\(f\): \(: S' \to \mathbb{R}^d\)
\(S\): \(\subseteq S'\)
\(\chi_S\): \(= S \text{ 上方のキャラクタリスティックファンクション（特性関数） }\)
\(S''\): \(\subseteq \mathbb{R}^d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(0 \notin S''\)である時は、\((\chi_S f)^{-1} (S'') = S \cap f^{-1} (S'')\)
\(\land\)
\(0 \in S''\)である時は、\((\chi_S f)^{-1} (S'') = (S \cap f^{-1} (S'' \setminus \{0\})) \cup ((S' \setminus S) \cup f^{-1} (0))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(0 \notin S''\)であると仮定し、\((\chi_S f)^{-1} (S'') = S \cap f^{-1} (S'')\)であることを見る; ステップ2: \(0 \in S''\)であると仮定し、\((\chi_S f)^{-1} (S'') = (S \cap f^{-1} (S'' \setminus \{0\})) \cup ((S' \setminus S) \cup f^{-1} (0))\)であることを見る。
ステップ1:
\(0 \notin S''\)であると仮定しよう。
\((\chi_S f)^{-1} (S'') = S \cap f^{-1} (S'')\)であることを見よう。
\(s \in (\chi_S f)^{-1} (S'')\)を任意のものとしよう。
\((\chi_S f) (s) = \chi_S (s) f (s) \in S''\)。
\((\chi_S f) (s) \neq 0\)であるから、\(\chi_S (s) \neq 0\)、したがって、\(s \in S\)。
\(\chi_S (s) f (s) = f (s) \in S''\)、したがって、\(s \in f^{-1} (S'')\)。
したがって、\(s \in S \cap f^{-1} (S'')\)。
\(s \in S \cap f^{-1} (S'')\)を任意のものとしよう。
\((\chi_S f) (s) = f (s) \in S''\)、したがって、\(s \in (\chi_S f)^{-1} (S'')\)。
したがって、\((\chi_S f)^{-1} (S'') = S \cap f^{-1} (S'')\)。
ステップ2:
\(0 \in S''\)であると仮定しよう。
\(S'' = (S'' \setminus \{0\}) \cup \{0\}\)。
\((\chi_S f)^{-1} (S'') = (\chi_S f)^{-1} ((S'' \setminus \{0\}) \cup \{0\}) = (\chi_S f)^{-1} (S'' \setminus \{0\}) \cup (\chi_S f)^{-1} (\{0\})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\((\chi_S f)^{-1} (S'' \setminus \{0\}) = S \cap f^{-1} (S'' \setminus \{0\})\)、ステップ1によって。
\((\chi_S f)^{-1} (\{0\}) = (S' \setminus S) \cup f^{-1} (0)\)であることを見よう。
\(s \in (\chi_S f)^{-1} (\{0\})\)を任意のものとしよう。
\(\chi_S f (s) = \chi_S (s) f (s) = 0\)、したがって、\(\chi_S (s) = 0\)または\(f (s) = 0\)、したがって、\(s \in S' \setminus S\)または\(s \in f^{-1} (0)\)、したがって、\(s \in (S' \setminus S) \cup f^{-1} (0)\)。
\(s \in (S' \setminus S) \cup f^{-1} (0)\)を任意のものとしよう。
\((\chi_S f) (s) = \chi_S (s) f (s)\)、しかし、\(s \in S' \setminus S\)または\(s \in f^{-1} (0)\)であるところ、\(s \in S' \setminus S\)は\(\chi_S (s) = 0\)を含意し、\(s \in f^{-1} (0)\)は\(f (s) = 0\)を含意し、したがって、\(\chi_S (s) f (s) = 0\)、いずれにせよ、したがって、\(s \in (\chi_S f)^{-1} (\{0\})\)。
したがって、\((\chi_S f)^{-1} (\{0\}) = (S' \setminus S) \cup f^{-1} (0)\)。
したがって、\((\chi_S f)^{-1} (S'') = (S \cap f^{-1} (S'' \setminus \{0\})) \cup ((S' \setminus S) \cup f^{-1} (0))\)。
