メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間マップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちのセット（集合）の要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）がサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されサブセット（部分集合）たちの当該セット（集合）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M_1, A_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists S \subseteq Pow M_2 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } A_2 = \sigma (S) (\forall s \in S (f^{-1} (s) \in A_1))\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M_2\)の、プリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）であるようなサブセット（部分集合）たち全てのセット（集合）を考え、当該セット（集合）は、\(S\)を包含する\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\widetilde{S}\)を、\(M_2\)の、プリイメージ（前像）が\(A_1\)内にあるようなサブセット（部分集合）たち全てのセット（集合）としよう。
\(\widetilde{S}\)は\(M_2\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見よう。
1) \(M_2 \in \widetilde{S}\): \(f^{-1} (M_2) = M_1 \in A_1\)。
2) 各\(a \in \widetilde{S}\)に対して、\(M_2 \setminus a \in \widetilde{S}\): \(f^{-1} (M_2 \setminus a) = M_1 \setminus f^{-1} (a)\)、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、ここで、\(f^{-1} (a) \in A_1\)、したがって、\(M_1 \setminus f^{-1} (a) \in A_1\)。
3) \(\widetilde{S}\)の中への各シーケンス（列）\(s\)に対して、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) \in \widetilde{S}\): \(f^{-1} (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \cup_{j \in \mathbb{N}} f^{-1} (s (j))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、ここで、\(f^{-1} (s (j)) \in A_1\)、したがって、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} f^{-1} (s (j)) \in A_1\)。
\(S \subseteq \widetilde{S}\)、当該仮定によって。
ステップ2:
\(\sigma (S)\)は、\(S\)を包含する全ての\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）であるから、\(A_2 = \sigma (S) \subseteq \widetilde{S}\)。
それが意味するのは、\(A_2\)の各要素に対して、その\(f\)下でのプリイメージ（前像）は\(A_1\)内にあるということ、したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である。
