セット（集合）からコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(s\): \(: J \to \{g: S \to M\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \in \{\text{ 全てのユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
\(\implies\)
\(s \in \{\text{ 全てのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 当該コンバージェンス（収束点）\(f: S \to M\)を取る; ステップ2: \(s\)は\(f\)へユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）することを見る。
ステップ1:
各固定された\(p\)に対して、\(: J \to M, j \mapsto s (j) (p)\)は\(M\)上のコーシーシーケンス（列）である、なぜなら、以下を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)、に対して、以下を満たすある\(N \in J\)、つまり、\(N \lt j_1, j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J\)に対して、\(dist (s (j_1) (p), s (j_2) (p)) \lt \epsilon\)、がある。
\(M\)はコンプリート（完備）であるから、それは、\(f (p)\)へコンバージ（収束）する: 当該コンバージェンス（収束点）はユニークである、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義に対する"注"によって。
したがって、当該マップ（写像）\(f: S \to M\)がある。
ステップ2:
\(s\)は\(f\)へユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）することを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in J\)、つまり、\(N \lt j_1, j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J\)に対して、各\(p \in S\)に対して、\(dist (s (j_1) (p), s (j_2) (p)) \lt \epsilon / 2\)、がある。
\(dist (s (j_1) (p), f (p)) \le dist (s (j_1) (p), s (j_2) (p)) + dist (s (j_2) (p), f (p)) \lt \epsilon / 2 + dist (s (j_2) (p), f (p))\)。
しかし、以下を満たすある\(N' \in J\)、つまり、\(N' \lt j_2\)を満たす各\(j_2 \in J\)に対して、\(dist (s (j_2) (p), f (p)) \lt \epsilon / 2\)、がある: \(N'\)は\(p\)に依存する、しかし、それは問題でない、なぜなら、私たちが必要としているのは、\(N\)が\(p\)に依存しないことである。
したがって、\(j_2\)を\(N, N' \lt j_2\)を満たす任意のものとしよう、そして、\(dist (s (j_1) (p), f (p)) \lt \epsilon\)。
それは、\(N \lt j_1\)を満たす各\(j_1 \in J\)に対して成立する、各\(p \in S\)に対して。
したがって、\(s\)は\(f\)へユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）する。
