メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）上方のサブスペースメジャー（部分空間測度）の定義
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）上方のサブスペースメジャー（部分空間測度）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M', A', \mu')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\( S\): \(\in A'\)
\( A\): \(= S \text{ のサブスペース（部分空間） } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(*\mu\): \(: A \to [0, + \infty]\), \(\in \{A \text{ 上方のメジャー（測度）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall a = a' \cap S \in A \text{ 、ここで、 } a' \in A' (\mu (a) = \mu' (a))\)
//
2: 注
\(\mu\)は本当にメジャー（測度）であることを見よう。
第1に、\(\mu\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(S \in A'\)であるから、\(a = a' \cap S \in A'\)、したがって、\(\mu' (a)\)は妥当である。
したがって、\(\mu\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
第2に、\(\mu\)は本当にメジャー（測度）であることを見よう。
\(\emptyset = \emptyset \cap S\)、ここで、\(\emptyset \in A'\)、であるから、\(\mu (\emptyset) = \mu' (\emptyset) = 0\)。
\(s: \mathbb{N} \to A\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(n_1 \neq n_2\)を満たす各\(n_1, n_2 \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (n_1) \cap s (n_2) = \emptyset\)、としよう。
\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (s (j))\)？
\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \mu' (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu' (s (j)) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (s (j))\)。
したがって、\(\mu\)はメジャー（測度）である。
