メジャースペース（測度空間）のほとんどいたる所サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）上方のサブスペースメジャー（部分空間測度）の定義
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方でほとんどいたる所の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のほとんどいたる所サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）上方のサブスペースメジャー（部分空間測度）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M', A', \mu')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\( S\): \(\in \{M' \text{ の全てのほとんどいたる所サブセット（部分集合）たち }\}\)
\( A\): \(= S \text{ のサブスペース（部分空間） } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
\(*\mu\): \(: A \to [0, + \infty]\), \(\in \{A \text{ 上方の全てのメジャー（測度）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall a = a' \cap S \in A \text{ 、ここで、 } a' \in A' (\mu (a) = \mu' (a'))\)
//
2: 注
\(\mu\)は本当にメジャー（測度）であることを見よう。
第1に、\(\mu\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
各\(a \in A\)に対して、\(a', a'' \in A'\)を、\(a = a' \cap S = a'' \cap S\)を満たす任意のものとしよう。
\(\mu' (a') = \mu' (a'')\)？
\(p \in a'' \setminus a'\)を任意のものとしよう。
\(p \notin S\)、なぜなら、もしも、\(p \in S\)である場合、\(p \in a'' \cap S = a' \cap S\)、それは、\(p \in a'\)を含意することになる、矛盾。
したがって、\(a'' \setminus a' \subseteq M' \setminus S\)。
しかし、\(S\)は\(M'\)のほとんどいたる所サブセット（部分集合）であるから、以下を満たすある\(n \in A'\)、つまり、\(M' \setminus S \subseteq n\)および\(\mu' (n) = 0\)、がある。
したがって、\(a'' \setminus a' \subseteq M' \setminus S \subseteq n\)、そして、\(\mu' (a'' \setminus a') \le \mu' (n) = 0\)、したがって、\(\mu' (a'' \setminus a') = 0\)。
\(a'' \subseteq a' \cup (a'' \setminus a')\)であるから、\(\mu' (a'') \le \mu' (a' \cup (a'' \setminus a')) = \mu' (a') + \mu' (a'' \setminus a') = \mu' (a') + 0 = \mu' (a')\)。
対称性によって、\(\mu' (a') \le \mu' (a'')\)。
したがって、はい、\(\mu' (a') = \mu' (a'')\)。
したがって、\(\mu\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
第2に、\(\mu\)は本当にメジャー（測度）であることを見よう。
\(\emptyset = \emptyset \cap S\)、ここで、\(\emptyset \in A'\)、であるから、\(\mu (\emptyset) = \mu' (\emptyset) = 0\)。
\(s: \mathbb{N} \to A\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(n_1 \neq n_2\)を満たす各\(n_1, n_2 \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (n_1) \cap s (n_2) = \emptyset\)である、としよう。
\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (s (j))\)？
\(s (j) \in A\)であるから、\(s (j) = a'_j \cap S\)、ある\(a'_j \in A'\)に対して、そして、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) = \cup_{j \in \mathbb{N}} (a'_j \cap S) = (\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j) \cap S\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、その一方で、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j \in A'\)。
定義によって、\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \mu' (\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j)\)および\(\sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (s (j)) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu' (a'_j)\)、したがって、それは、\(\mu' (\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu' (a'_j)\)が成立するという問題である。
\(b'_j := a'_j \setminus c'_j\)、ここで、\(c'_j := a'_j \cap \cup_{l \in \{0, ..., j - 1\}} a'_l\)、を定義しよう。
\(j \neq m\)を満たす各\(j, m \in \mathbb{N}\)に対して、\(b'_j \cap b'_m = \emptyset\)、なぜなら、一般性を失なうことなく\(j \lt m\)と仮定して、各\(p \in b'_m\)に対して、\(p \notin c'_m\)、それが意味するのは、\(p \notin \cup_{l \in \{0, ..., m - 1\}} a'_m\)、それが意味するのは、\(p \notin a'_j\)、それが意味するのは、\(p \notin b'_j\)。
\(\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j = \cup_{j \in \mathbb{N}} b'_j\)、なぜなら、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} b'_j \subseteq \cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j\)は明らかであるところ、各\(p \in \cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j\)に対して、\(p \in a'_j\)、ある\(j\)に対して、しかし、もしも、\(p \in a'_0\)である場合、\(p \in b'_0 = a'_0\)、そうでなければ、もしも、\(p \in a'_1\)である場合、\(p \in b'_1 = a'_1 \setminus a'_1 \cap \cup_{l \in \{0\}} a'_l\)、なぜなら、\(p \notin \cup_{l \in \{0\}} a'_l\)、そうでなければ、もしも、\(p \in a'_2\)である場合、\(p \in b'_2 = a'_2 \setminus a'_2 \cap \cup_{l \in \{0, 1\}} a'_l\)、なぜなら、\(p \notin \cup_{l \in \{0, 1\}} a'_l\)、そうでなければ、...、等々と続く、結局、もしも、それが\(a'_j\)に達すれば、それは\(p \in a'_j\)および\(p \in b'_j = a'_j \setminus a'_j \cap \cup_{l \in \{0, ..., j - 1\}} a'_l\)を意味する、なぜなら、\(p \notin \cup_{l \in \{0, ..., j - 1\}} a'_l\)（なぜなら、そうでなければ、それは\(a'_j\)に達しないことになる）、しかし、もしも、それが\(a'_j\)に達しなければ、それは、\(p \in b'_l\)、ある\(l \lt j\)に対して、を意味し、したがって、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j \subseteq \cup_{j \in \mathbb{N}} b'_j\)。
したがって、\(\mu' (\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j) = \mu' (\cup_{j \in \mathbb{N}} b'_j) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu' (b'_j)\)。
したがって、私たちが見る必要のあることは、\(\mu' (b'_j) = \mu' (a'_j)\)。
明らかに、\(\mu' (b'_j) \le \mu' (a'_j)\)。
\(a'_j \subseteq (a'_j \setminus c'_j) \cup c'_j\)であるから、\(\mu' (a'_j) \le \mu' (a'_j \setminus c'_j) + \mu' (c'_j)\)、したがって、\(\mu' (a'_j) \le \mu' (b'_j) + \mu' (c'_j)\)、したがって、\(\mu' (a'_j) - \mu' (c'_j) \le \mu' (b'_j)\)。
したがって、\(\mu' (a'_j) - \mu' (c'_j) \le \mu' (b'_j) \le \mu' (a'_j)\)。
しかし、\(\mu' (c'_j) = \mu' (a'_j \cap \cup_{l \in \{0, ..., j - 1\}} a'_l) = \mu' (\cup_{l \in \{0, ..., j - 1\}} (a'_j \cap a'_l))\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(\le \sum_{l \in \{0, ..., j - 1\}} \mu' (a'_j \cap a'_l)\)、しかし、\(a'_j \cap a'_l \subseteq M' \setminus S\)、なぜなら、各\(p \in a'_j \cap a'_l\)に対して、もしも、\(p \in S\)であった場合、\(p \in a'_j \cap S = a_j\)および\(p \in a'_l \cap S = a_l\)、それが意味することになるのは、\(a_j \cap a_l \neq \emptyset\)、矛盾。したがって、\(S\)はほとんどいたる所であるから、以下を満たすある\(n \in A'\)、つまり、\(M' \setminus S \subseteq n\)および\(\mu' (n) = 0\)、がある。したがって、\(\mu' (a'_j \cap a'_l) \le \mu' (n) = 0\)。したがって、\(\mu' (c'_j) = 0\)。
したがって、\(\mu' (a'_j) = \mu' (a'_j) - 0 \le \mu' (b'_j) \le \mu' (a'_j)\)、それが意味するのは、\(\mu' (a'_j) = \mu' (b'_j)\)。
したがって、\(\mu' (\cup_{j \in \mathbb{N}} a'_j) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu' (a'_j)\)。
したがって、\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (s (j))\)。
したがって、\(\mu\)はメジャー（測度）である。
