\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ディファレンシャルの後にカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を行なうコンポジション（合成）は、マップ（写像）後にプロジェクション（射影）たちを行なうコンポジション（合成）たちのディファレンシャルたちのダイレクトサムであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントに対して、当該ポイントにおけるタンジェントスペース（接空間）から構成要素マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの対応するポイントたちにおけるタンジェントスペース（接空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）がある、当該プロジェクション（射影）たちのディファレンシャルたちの疑似プロダクトとして、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、から任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該ディファレンシャルの後にカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を行なうコンポジション（合成）は、当該マップ（写像）後に当該プロジェクション（射影）たちを行なうコンポジション（合成）たちのディファレンシャルたちのダイレクトサムであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_1 \times ... \times M_n\): \(= \text{ 当該プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\(f\): \(: M \to M_1 \times ... \times M_n\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\{\pi_1, ..., \pi_n\}\): \(\pi_j: M_1 \times ... \times M_n \to M_j = \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
\(d f_m\): \(: T_mM \to T_{f (m)}(M_1 \times ... \times M_n)\), \(= m \text{ におけるディファレンシャル }\)
\(g\): \(: T_{f (m)}(M_1 \times ... \times M_n) \to T_{f (m)^1}M_1 \oplus ... \oplus T_{f (m)^n}M_n, v \mapsto (d {\pi_1}_{f (m)} v, ..., d {\pi_n}_{f (m)} v)\), \(= \text{ カノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\(g \circ d f_m\): \(: T_mM \to T_{f (m)^1}M_1 \oplus ... \oplus T_{f (m)^n}M_n\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g \circ d f_m = (d (\pi_1 \circ f)_m, ..., d (\pi_n \circ f)_m)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g \circ d f_m = (d {\pi_1}_{f (m)} \circ d f_m, ..., d {\pi_n}_{f (m)} \circ d f_m)\)であることを見る。
ステップ1:
私たちは既に、\(g: v \mapsto (d {\pi_1}_{f (m)} v, ..., d {\pi_n}_{f (m)} v)\)であると知っている、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントに対して、当該ポイントにおけるタンジェントスペース（接空間）から構成要素マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの対応するポイントたちにおけるタンジェントスペース（接空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）がある、当該プロジェクション（射影）たちのディファレンシャルたちの疑似プロダクトとして、という命題によって、から、各\(v \in T_mM\)に対して、\(g \circ d f_m (v) = (d {\pi_1}_{f (m)} \circ d f_m (v), ..., d {\pi_n}_{f (m)} \circ d f_m (v)) = (d (\pi_1 \circ f)_m (v), ..., d (\pi_n \circ f)_m (v))\)、よく知られているとおり。
それが意味するのは、\(g \circ d f_m = (d (\pi_1 \circ f)_m, ..., d (\pi_n \circ f)_m)\)。
