フィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）で\(2\)個のスクウェア（正方）ブロックたちを持ち、残りのブロックたちの\(1\)個が\(0\)であるものに対して、デターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、ダイアゴナル（対角）ブロックたちのデターミナント（行列式）たちが非ゼロである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）で\(2\)個の任意のスクウェア（正方）ブロックたちを持ち、残りのブロックたちの\(1\)個が\(0\)であるものに対して、当該デターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該ダイアゴナル（対角）ブロックたちのデターミナント（行列式）たちが非ゼロである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{F \text{ 上方の全ての } n \times n \text{ マトリックス（行列）たち }\}\), \(= \begin{pmatrix} M^1_1 & M^1_2 \\ M^2_1 & M^2_2 \end{pmatrix}\)、ここで、\(M^1_1 \in \{F \text{ 上方の全ての } n_1 \times n_1 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)および\(M^2_2 \in \{F \text{ 上方の全ての } n_2 \times n_2 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)および\(M^2_1 = 0\)または\(M^1_2 = 0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(det M \neq 0\)
\(\iff\)
\(det M^1_1 \neq 0 \land det M^2_2 \neq 0\)
//
2: 注
本命題は逐次に適用することができる、つまり、\(M^2_2\)が\(M\)の形にある時は、本命題を\(M^2_2\)へ適用できる、等々と続く。
当該要求\(M^2_1 = 0\)または\(M^1_2 = 0\)無しには、本命題は成立しない: 例えば、\(M := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで、\(n_1 = 1\)および\(n_2 = 1\)、に対して、\(det M \neq 0\)、しかし、\(det M^1_1 = 0\)および\(det M^2_2 = 0\)。
3: 証明
全体戦略: 任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: \(M^2_1 = 0\)であると仮定する; ステップ2: \(det M \neq 0\)であると仮定する; ステップ3: \(det M^1_1 \neq 0\)および\(det M^2_2 \neq 0\)であることを見る; ステップ4: \(det M^1_1 \neq 0\)および\(det M^2_2 \neq 0\)であると仮定する; ステップ5: \(det M \neq 0\)であることを見る; ステップ6: \(M^1_2 = 0\)ケースに対して本命題を結論する。
ステップ1:
\(M^2_1 = 0\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(det M \neq 0\)であると仮定しよう。
ステップ3:
任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(M\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、特に、\(M\)の左\(n_1\)列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\(M^1_1\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である: \(M^1_1\)の\((j, l)\)コンポーネントを\({M^1_1}^j_l\)と表わして、もしも、\(r_1 \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_1 \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_1 \end{pmatrix} + ... + r_{n_1} \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_{n_1} \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_{n_1} \end{pmatrix} = 0\)がいくつか非ゼロ\((r_1, ..., r_{n_1})\)で成立したら、\(r_1 \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_1 \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + ... + r_{n_1} \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_{n_1} \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_{n_1} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)が同一非ゼロ\((r_1, ..., r_{n_1})\)で成立することになる、\(M\)の\(n_1\)個左列たちがリニアにインディペンデント（線形独立）であることに反する矛盾。
したがって、\(det M^1_1 \neq 0\)、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
同様に、\(M\)の行たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、特に、\(M\)の底\(n_2\)個行たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\(M^2_2\)の行たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である: \(M^2_2\)の\((j, l)\)コンポーネントを\({M^2_2}^j_l\)と表わすと、もしも、\(r_1 \begin{pmatrix} {M^2_2}^1_1 & ... & {M^2_2}^1_{n_2} \end{pmatrix} + ... + r_{n_2} \begin{pmatrix} {M^2_2}^{n_2}_1 & ... & {M^2_2}^{n_2}_{n_2} \end{pmatrix} = 0\)がいくつか非ゼロ\((r_1, ..., r_{n_2})\)たちで成立したら、\(r_1 \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & {M^2_2}^1_1 & ... & {M^2_2}^1_{n_2} \end{pmatrix} + ... + r_{n_1} \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & {M^2_2}^{n_2}_1 & ... & {M^2_2}^{n_2}_{n_2} \end{pmatrix} = 0\)が同一非ゼロ\((r_1, ..., r_{n_2})\)たちで成立することになる、\(M\)の底\(n_2\)個行たちがリニアにインディペンデント（線形独立）であることに反する矛盾。
したがって、\(det M^2_2 \neq 0\)、前と同様。
ステップ4:
\(det M^1_1 \neq 0\)および\(det M^2_2 \neq 0\)と仮定しよう。
ステップ5:
任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(M^1_1\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\(M\)の左\(n_1\)個列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題によって。
同様に、\(M^2_2\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\(M\)の右\(n_2\)個列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である、前と同様。
\(M\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）であることを見よう。
\(r_1 \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_1 \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + ... r_{n_1} \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_{n_1} \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_{n_1} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + r_{n_1 + 1} \begin{pmatrix} {M^1_2}^1_1 \\ ... \\ {M^1_2}^{n_1}_1 \\ {M^2_2}^1_1 \\ ... \\ {M^2_2}^{n_2}_1 \end{pmatrix} + ... + r_{n_1 + n_2} \begin{pmatrix} {M^1_2}^1_{n_2} \\ ... \\ {M^1_2}^{n_1}_{n_2} \\ {M^2_2}^1_{n_2} \\ ... \\ {M^2_2}^{n_2}_{n_2} \end{pmatrix} = 0\)としよう。.
したがって、\(r_1 \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + ... r_{n_1} \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + r_{n_1 + 1} \begin{pmatrix} {M^2_2}^1_1 \\ ... \\ {M^2_2}^{n_2}_1 \end{pmatrix} + ... + r_{n_1 + n_2} \begin{pmatrix} {M^2_2}^1_{n_2} \\ ... \\ {M^2_2}^{n_2}_{n_2} \end{pmatrix} = 0\)、それが含意するのは、\((r_{n_1 + 1}, ..., r_{n_1 + n_2}) = (0, ..., 0)\)、なぜなら、\(M^2_2\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\(r_1 \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_1 \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + ... r_{n_1} \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_{n_1} \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_{n_1} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)。
したがって、\(r_1 \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_1 \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_1 \end{pmatrix} + ... r_{n_1} \begin{pmatrix} {M^1_1}^1_{n_1} \\ ... \\ {M^1_1}^{n_1}_{n_1} \end{pmatrix} = 0\)、それが含意するのは、\((r_1, ..., r_{n_1}) = (0, ..., 0)\)、なぜなら、\(M^1_1\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\((r_1, ..., f_{n_1 + n_2}) = (0, ..., 0)\)。
したがって、\(M\)の列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である。
したがって、\(det M \neq 0\)、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ6:
\(M^1_2 = 0\)であると仮定しよう。
\(M\)のトランスポーズ（転置）\(M^t\)のことを考えよう。
\(M^t = \begin{pmatrix} {M^1_1}^t & {M^2_1}^t \\ {M^1_2}^t & {M^2_2}^t \end{pmatrix}\)。
今度は、\({M^1_2}^t = 0\)である。
ステップ4およびステップ5によって、\(det M^t \neq 0\)、もしも、\(det {M^1_1}^t \neq 0\)および\(det {M^2_2}^t \neq 0\)である場合、そしてその場合に限って。
したがって、\(det M = det M^t \neq 0\)、もしも、\(det {M^1_1} = det {M^1_1}^t \neq 0\)および\(det {M^2_2} = det {M^2_2}^t \neq 0\)である場合、そしてその場合に限って。
