ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントに対して、ポイントにおけるタンジェントスペース（接空間）から構成要素マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの対応するポイントたちにおけるタンジェントスペース（接空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）がある、プロジェクション（射影）たちのディファレンシャルたちの疑似プロダクトとして、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、各プロジェクション（射影）は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントに対して、当該ポイントにおけるタンジェントスペース（接空間）から構成要素マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの対応するポイントたちにおけるタンジェントスペース（接空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）がある、当該プロジェクション（射影）たちのディファレンシャルたちの疑似プロダクトとして、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M\): \(= M_1 \times ... \times M_n\), \(= \text{ 当該プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\(m\): \(\in M\), \(= (m^1, ..., m^n)\)
\(T_mM\): \(= M \text{ の } m \text{ におけるタンジェントベクトルたちスペース（接空間） }\)
\(\{T_{m^1}M_1, ..., T_{m^n}M_n\}\): \(T_{m^j}M_j = M_j \text{ の } m^j \text{ におけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(\{\pi_1, ..., \pi_n\}\): \(\pi_j: M \to M_j, (m^1, ..., m^n) \mapsto m^j\)
\(f\): \(: T_mM \to T_{m^1}M_1 \oplus ... \oplus T_{m^n}M_n, v \mapsto (d \pi_1 (v), ..., d \pi_n (v))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
私たちは"疑似プロダクト"と言う、なぜなら、\(f\)は本当にはプロダクトマップ（写像）ではない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: \(f\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ3: \(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見る、\(f\)のコンポーネントたち表現を取ることによって; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
各\(\pi_j\)は\(C^\infty\)である、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、各プロジェクション（射影）は\(C^\infty\)であるという命題によって。
したがって、各\(d \pi_j\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
したがって、\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
ステップ2:
\(f\)はリニア（線形） であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in T_mM\)および\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)を任意のものたちとしよう。
\(f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = (d \pi_1 (r_1 v_1 + r_2 v_2), ..., d \pi_n (r_1 v_1 + r_2 v_2)) = (r_1 d \pi_1 (v_1) + r_2 d \pi_1 (v_2), ..., r_1 d \pi_n (v_1) + r_2 d \pi_n (v_2)) = (r_1 d \pi_1 (v_1), ..., r_1 d \pi_n (v_1)) + (r_2 d \pi_1 (v_2), ..., r_2 d \pi_n (v_2)) = r_1 (d \pi_1 (v_1), ..., d \pi_n (v_1)) + r_2 (d \pi_1 (v_2), ..., d \pi_n (v_2)) = r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2)\)。
したがって、\(f\)はリニア（線形）である。
ステップ3:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。
\(m^j\)周りの以下を満たす任意のチャート\((U_{m^j} \subseteq M_j, \phi_{m^j})\)、つまり、\(\phi_{m^j}: U_{m^j} \to \mathbb{R}^{d_j}, m^j \mapsto (x^{j, 1}, ..., x^{j, d_j})\)、を取ろう。
\(m\)周りのチャート\((U_m = U_{m^1} \times ... \times U_{m^n} \subseteq M, \phi_m = \phi_{m^1} \times ... \times \phi_{m^n})\)を取ろう。
\(v, v' \in T_mM\)を、\(v \neq v'\)を満たす任意のものとしよう。
\(v = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} v^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j}\)、当該チャートに関する\(T_mM\)に対するスタンダードベーシス（標準基底）に関して。
\(v' = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} v'^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j}\)、同様に。
\(d \pi_j (v) = v^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j}\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題によって: \(\pi_j\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は\(: (x^{1, 1}, ..., x^{1, d_1}, ..., x^{j, 1}, ..., x^{j, d_j}, ... , x^{n, 1}, ..., x^{n, d_n}) \mapsto (x^{j, 1}, ..., x^{j, d_j})\)である。
\(d \pi_j (v') = v'^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j}\)、同様に。
\(v \neq v'\)であるから、\(v^{j, l_j} \neq v'^{j, l_j}\)、ある\((j, l_j)\)に対して。
したがって、\(d \pi_j (v) = v^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j} \neq v'^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j} = d \pi_j (v')\)。
したがって、\(f (v) \neq f (v')\)。
したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
\((v^1, ..., v^n) \in T_{m^1}M_1 \oplus ... \oplus T_{m^n}M_n\)を任意のものとしよう。
\(v^j = v^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j}\)。
\(v := \sum_{j \in \{1, ..., n\}} v^{j, l_j} \partial / \partial x^{j, l_j} \in T_mM\)がある。
すると、\(f (v) = (d \pi_1 (v), ..., d \pi_n (v)) = (v^{1, l_1} \partial / \partial x^{1, l_1}, ..., v^{n, l_n} \partial / \partial x^{n, l_n}) = (v^1, ..., v^n)\)。
したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
ステップ4:
したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
