ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、シンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）ノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、サブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のテンソルコンプリメント（補）はサブスペース（部分空間）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の\((0, 2)\)-テンソルコンプリメント（補）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、任意のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、当該スペース（空間）のディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）のディメンション（次元）プラス当該サブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のディメンション（次元）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、任意のシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）ノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のテンソルコンプリメント（補）は当該サブスペース（部分空間）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(t\): \(\in \{V' \text{ の全てのノンディジェネレート（非縮退） } (0, 2) \text{ -テンソルたち }\} \cap \{\text{ 全てのシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）テンソルたち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V^\perp_t\): \(= V \text{ の } t \text{ コンプリメント（補） }\)
\({V^\perp_t}^\perp_t\): \(= V^\perp_t \text{ の } t \text{ コンプリメント（補） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({V^\perp_t}^\perp_t \subseteq V\)
//
2: 注
各\(v \in V\)に対して、各\(v' \in V^\perp_t\)に対して、\(t (v', v) = 0\)、\(V^\perp_t\)の定義から直接に、しかし、本命題は、任意の\(v' \in V'\)に対して、もしも、各\(v'' \in V^\perp_t\)に対して、\(t (v', v'') = 0\)である場合、\(v' \in V\)であると主張している。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(v' \in {V^\perp_t}^\perp_t \setminus V\)があったと仮定する; ステップ2: \(W := Span (V \cup \{v'\})\)を取り、\(V^\perp_t = W^\perp_t\)であることを見る; ステップ3: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、任意のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、当該スペース（空間）のディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）のディメンション（次元）プラス当該サブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のディメンション（次元）であるという命題を適用して\(Dim (V') = Dim (V) + Dim (V^\perp_t) = Dim (W) + Dim (W^\perp_t)\)であることを見、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
ある\(v' \in {V^\perp_t}^\perp_t \setminus V\)があったと仮定しよう。
ステップ2:
\(W := (V \cup \{v'\})\)、\(V \cup \{v'\}\)によって生成されたベクトルたちスペース（空間）、を取ろう、それは、\(V'\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、\(= Span (V \cup \{v'\})\): ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）に対する"注"を参照のこと。
\(Dim (W) = Dim (V) + 1\)、なぜなら、\(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)に対して、(\{b_1, ..., b_d, v'\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であることになる、なぜなら、\(r^1 b_1 + ... + r^d b_d + r' v' = 0\)に対して、\(r' = 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(v' = 1 / r' (r^1 b_1 + ... + r^d b_d) \in V\)、矛盾、したがって、\(r^1 b_1 + ... + r^d b_d = 0\)、それが含意することになるのは、全ての\(r^j\)たちは\(0\)であること。
\(V^\perp_t = W^\perp_t\)であることを見よう。
各\(p \in V^\perp_t\)に対して、各\(v \in V\)に対して、\(t (p, v) = 0\)、しかし、各\(w \in W\)に対して、\(w = v + r' v'\)、ある\(v \in V\)およびある\(r' \in F\)に対して、そして、\(t (p, w) = t (p, v + r' v') = t (p, v) + r' t (p, v') = t (p, v) + \text{ or }- r' t (v', p) = 0 + \text{ or } - r' 0\)、なぜなら、\(v' \in {V^\perp_t}^\perp_t\)および\(p \in V^\perp_t\)、\(= 0\)、したがって、\(p \in W^\perp_t\)。
各\(p \in W^\perp_t\)に対して、各\(w \in W\)に対して、\(t (p, w) = 0\)、しかし、各\(v \in V\)に対して、\(v \in W\)であるから、\(t (p, v) = 0\)、したがって、\(p \in V^\perp_t\)。
ステップ3:
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、任意のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、当該スペース（空間）のディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）のディメンション（次元）プラス当該サブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のディメンション（次元）であるという命題によって、\(Dim (V') = Dim (V) + Dim (V^\perp_t) = Dim (W) + Dim (W^\perp_t) = Dim (V) + 1 + Dim (V^\perp_t)\)、矛盾。
したがって、\(v' \in {V^\perp_t}^\perp_t \setminus V\)はない。
それが意味するのは、\({V^\perp_t}^\perp_t \subseteq V\)。
