ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の\((0, 2)\)-テンソルコンプリメント（補）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）の\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の\((0, 2)\)-テンソルコンプリメント（補）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( t\): \(\in T^0_2 (V)\)
\( S\): \(\subseteq V\)
\(*S^\perp_t\): \(= \{v \in V \vert \forall s \in S (t (v, s) = 0)\}\), \(\in \{V \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
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2: 注
\(S\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）である必要はない。
しかし、\(S \neq \emptyset\)である時は、\(S^\perp_t = (S)^\perp_t\)、ここで、\((S) = Span (S)\)（ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）の定義に対する"注"を参照のこと）。
それはなぜなら、各\(v \in S^\perp_t\)に対して、各\(s \in (S)\)に対して、\(t (v, s) = 0\)、なぜなら、\(s = r^1 s_1 + ... + r^n s_n\)、ここで、\(s_j \in S\)、そして、\(t (v, s) = t (v, r^1 s_1 + ... + r^n s_n) = r^1 t (v, s_1) + ... + r^n t (v, s_n) = 0 + ... + 0 = 0\); 各\(v \in (S)^\perp_t\)に対して、各\(s \in S\)に対して、\(t (v, s) = 0\)、なぜなら、\(s \in (S)\)。
\(S^\perp_t\)は本当に\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in S^\perp_t\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものたちとしよう。
\(r_1 v_1 + r_2 v_2 \in S^\perp_t\)、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、\(t (r_1 v_1 + r_2 v_2, s) = r_1 t (v_1, s) + r_2 t (v_2, s) = 0 + 0 = 0\)。
したがって、\(S^\perp_t\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
典型的には、\(t\)はノンディジェネレート（非縮退）でシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、しかし、本定義はそう要求しない。
