ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）の\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( T^0_2 (V)\):
\( *t\): \(\in T^0_2 (V)\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in V (\forall w \in V (t (v, w) = 0) \implies v = 0)\)
//
コンディション\(\forall v \in V \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } v \neq 0 (\exists w \in V (t (v, w) \neq 0))\)は、等価なコンディション（"第1代替コンディション"と呼ぶ）である、"注"内で見られるとおり。
\(V\)がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である時、コンディション\(\widehat{t}: V \to V^*, v \mapsto i_v (t) \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
は、等価なコンディション（"第2代替コンディション"と呼ぶ）である、"注"内で見られるとおり: 実のところ、\(\widehat{t}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\(V\)がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である時、コンディション、\(\widehat{t}\)の\(V\)に対する任意のベーシス（基底）および\(V^*\)に対するデュアルベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、は、等価なコンディション（"第3代替コンディション"と呼ぶ）である、"注"内で見られるとおり。
2: 注
通常は、\(t \in \Lambda_2 (V)\)または\(t \in \Sigma_2 (V)\)が仮定される、しかし、本定義そのものはそれを必要としない。
第1代替コンディションは等価なコンディションであることを見よう。
本定義のコンディションを仮定しよう。
\(v \in V\)を、\(v \neq 0\)を満たす任意のものとしよう。
もしも、以下を満たす\(w \in V\)、つまり、\(t (v, w) \neq 0\)、がなかったら、各\(w \in V\)に対して、\(t (v, w) = 0\)、それが含意するのは、\(v = 0\)、矛盾。
したがって、ある\(w\)がある。
第1代替コンディションを仮定しよう。
\(v \in V\)を任意のものとしよう。
各\(w \in V\)に対して、\(t (v, w) = 0\)であると仮定しよう。
もしも、\(v \neq 0\)であったら、以下を満たすある\(w \in V\)、つまり、\(t (v, w) \neq 0\)、があることになる、各\(w \in V\)に対して\(t (v, w) = 0\)であることに反する矛盾。
したがって、\(v = 0\)。
\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であると仮定しよう、これ以降。
第2代替コンディションは等価なコンディションであることを見よう。
\(\widehat{t}\)は妥当であり\(F\)-リニア（線形）である、任意のベクトルたちスペース（空間）の任意の\((0, 2)\)-テンソルに対して、当該ベクトルたちスペース（空間）からコベクトルたちスペース（空間）の中へのあるリニアマップ（線形写像）がインデュースト（誘導された）であり、当該ベクトルたちスペース（空間）がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である時、当該インデュースト（誘導された）マップ（写像）の、任意のベーシス（基底）およびデュアルベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）、はこれであるという命題によって。
本定義を仮定しよう。
\(\widehat{t}\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(v, v' \in V\)を、\(v \neq v'\)を満たす任意のものとしよう。
\(\widehat{t} (v) = \widehat{t} (v')\)であったと仮定しよう。
各\(w \in V\)に対して、\(\widehat{t} (v) (w) = \widehat{t} (v') (w)\)、したがって、\(t (v, w) = t (v', w)\)、したがって、\(t (v, w) - t (v', w) = 0\)、しかし、左辺は、\(t (v - v', w)\)であった、それが含意するのは、\(v - v' = 0\)、矛盾。
したがって、\(\widehat{t} (v) \neq \widehat{t} (v')\)。
したがって、\(\widehat{t}\)はインジェクティブ（単射）である。
したがって、\(\widehat{t}\)は\(V^*\)の中へのインジェクティブ（単射）リニアマップ（線形写像）である。
しかし、\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であるから、\(V^*\)は\(V\)のディメンション（次元）を持つ: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を参照のこと。
したがって、\(\widehat{t}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
特に、\(\widehat{t}\)はバイジェクション（全単射）である。
第2代替コンディションを仮定しよう。
\(v \in V\)を、\(v \neq 0\)を満たす任意のものとしよう。
\(\widehat{t} (v) \neq 0\)、なぜなら、\(\widehat{t}\)はリニア（線形）でインジェクティブ（単射）である: \(\widehat{t} (0) = 0\)。
それが意味するのは、以下を満たすある\(w \in V\)、つまり、\(\widehat{t} (v) (w) \neq 0\)、があるということ、しかし、左辺は、\(t (v, w)\)である。
したがって、第1代替コンディションは満たされている。
したがって、本定義は満たされている。
第3代替コンディションは等価なコンディションであることを見よう。
\(B = \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\)を、\(V\)に対する任意のベーシス（基底）としよう。
\(B^* = \{b^1, ..., b^d\} \subseteq V\)を、\(V^*\)に対する\(B\)のデュアルベーシス（基底）としよう。
\(M\)を、\(\widehat{t}\)の\(B\)および\(B^*\)に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）としよう、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義によって、\(V\)から\(B\)に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f_1: V \to F^d\)および\(V^*\)から\(B^*\)に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f_2: V^* \to F^d\)を持って。
\(M\)は、\(f_2 \circ \widehat{t} \circ {f_1}^{-1}\)のカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）である。
本定義を仮定しよう。
第2代替コンディションは満たされている。
したがって、\(\widehat{t}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
したがって、\(f_2 \circ \widehat{t} \circ {f_1}^{-1}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
そのレプリゼンタティブ（代表）として、\(M\)はインバーティブル（可逆）である。
第3代替コンディションが満たされていると仮定しよう。
すると、\(f_2 \circ \widehat{t} \circ {f_1}^{-1}\)はバイジェクティブ（全単射）である。
したがって、\(\widehat{t} = {f_2}^{-1} \circ f_2 \circ \widehat{t} \circ {f_1}^{-1} \circ f_1\)はバイジェクティブ（全単射）である。
したがって、第2代替コンディションは満たされている。
したがって、本定義は満たされている。
