ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、ノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、ベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、スペース（空間）のディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）のディメンション（次元）プラスサブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のディメンション（次元）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の\((0, 2)\)-テンソルコンプリメント（補）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題を認めている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）、任意のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソル、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、当該スペース（空間）のディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）のディメンション（次元）プラス当該サブスペース（部分空間）のテンソルコンプリメント（補）のディメンション（次元）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(t\): \(\in \{V' \text{ の全てのノンディジェネレート（非縮退） } (0, 2) \text{ -テンソルたち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V^\perp_t\): \(= V \text{ の } t \text{ コンプリメント（補） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Dim (V') = Dim (V) + Dim (V^\perp_t)\)
//
2: 注
典型的には、\(t\)はシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、しかし、本命題はそう要求しない、"証明"内で見られるとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(\widehat{t}: V' \to V'^*, v' \mapsto i_{v'} (t)\)を取る; ステップ2: \(f: V' \to V^*, v' \mapsto i_{v'} (t) \vert_V\)を取り、\(f\)はサージェクティブ（全射）リニアマップ（線形写像）で\(V^\perp_t = Ker (f)\)であることを見る; ステップ3: apply ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則を適用して、\(Dim (V') = Dim (V^*) + Dim (V^\perp_t) = Dim (V) + Dim (V^\perp_t)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\widehat{t}: V' \to V'^*, v' \mapsto i_{v'} (t)\)を取ろう、それは、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である: ベクトルたちスペース（空間）のノンディジェネレート（非縮退）\((0, 2)\)-テンソルの定義を参照のこと。
ステップ2:
\(f: V' \to V^*, v' \mapsto i_{v'} (t) \vert_V\)を取ろう。
それはウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、\(i_{v'} (t) \vert_V \in V^*\)、なぜなら、\(i_{v'} (t) \vert_V = t (v', \bullet) \vert_V \in V^*\)。
\(f\)はリニア（線形）である、なぜなら、各\(v'_1, v'_2 \in V'\)および\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\(f (r_1 v'_1 + r_2 v'_2) = t (r_1 v'_1 + r_2 v'_2, \bullet) \vert_V = r_1 t (v'_1, \bullet) \vert_V + r_2 t (v'_2, \bullet) \vert_V = r_1 f (v'_1) + r_2 f (v'_2)\)。
\(f\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
\(v^* \in V^*\)を任意のものとしよう。
\(v^*\)は拡張して\(v'^* \in V'^*\)にできる、以下のように: \(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を\(V\)に対する任意のベーシス（基底）とする; \(B\)は明らかに\(V'\)上でリニアにインディペンデント（線形独立）であり、\(V'\)に対するあるベーシス（基底）\(B' = \{b_1, ..., b_d, b'_{d + 1}, ..., b'_{d'}\}\)へ拡張できる、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題によって; \(v'^*: V' \to F, r^1 b_1 + ... + r^d b_d + r^{d + 1} b'_{d + 1} + ... + r^{d'} b'_{d'} \mapsto v^* (r^1 b_1 + ... + r^d b_d)\)とする、それは、本当に\(V'^*\)内にある、なぜなら、それはリニア（線形）である、なぜなら、各\(v'_1 = r^1_1 b_1 + ... + r^d_1 b_d + r^{d + 1}_1 b'_{d + 1} + ... + r^{d'}_1 b'_{d'}, v'_2 = r^1_2 b_1 + ... + r^d_2 b_d + r^{d + 1}_2 b'_{d + 1} + ... + r^{d'}_2 b'_{d'} \in V'\)および\(s^1, s^2 \in F\)に対して、\(v'^* (s^1 v'_1 + s^2 v'_2) = v'^* (s^1 (r^1_1 b_1 + ... + r^d_1 b_d + r^{d + 1}_1 b'_{d + 1} + ... + r^{d'}_1 b'_{d'}) + s^2 (r^1_2 b_1 + ... + r^d_2 b_d + r^{d + 1}_2 b'_{d + 1} + ... + r^{d'}_2 b'_{d'})) = v'^* ((s^1 r^1_1 + s^2 r^1_2) b_1 + ... + (s^1 r^d_1 + s^2 r^d_2) b_d + (s^1 r^{d + 1}_1 + s^2 r^{d + 1}_2) b'_{d + 1} + ... + (s^1 r^{d'}_1 + s^2 r^{d'}_2) b'_{d'}) = v^* ((s^1 r^1_1 + s^2 r^1_2) b_1 + ... + (s^1 r^d_1 + s^2 r^d_2) b_d) = v^* (s^1 (r^1_1 b_1 + ... + r^d_1 b_d) + s^2 (r^1_2 b_1 + ... + r^d_2 b_d)) = s^1 v^* (r^1_1 b_1 + ... + r^d_1 b_d) + s^2 v^* (r^1_2 b_1 + ... + r^d_2 b_d) = s^1 v'^* (r^1_1 b_1 + ... + r^d_1 b_d + r^{d + 1}_1 b'_{d + 1} + ... + r^{d'}_1 b'_{d'}) + s^2 v'^* (r^1_2 b_1 + ... + r^d_2 b_d + r^{d + 1}_2 b'_{d + 1} + ... + r^{d'}_2 b'_{d'}) = s^1 v'^* (v'_1) + s^2 v'^* (v'_2)\)。
\(v'^* \vert_V = v^*\)、なぜなら、各\(v = r^1 b_1 + ... + r^d b_d \in V\)に対して、\(v'^* \vert_V (v) = v'^* (r^1 b_1 + ... + r^d b_d) = v^* (r^1 b_1 + ... + r^d b_d) = v^* (v)\)。
\(\widehat{t}: V' \to V'^*\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、以下を満たすある\(v' \in V'\)、つまり、\(\widehat{t} (v') = v'^*\)、がある。
\(f (v') = i_{v'} (t) \vert_V = \widehat{t} (v') \vert_V = v'^* \vert_V = v^*\)。
したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
\(V^\perp_t = Ker (f)\)、なぜなら、各\(v' \in V^\perp_t\)に対して、各\(v \in V\)に対して、\(t (v', v) = 0\)、しかし、\(t (v', v) = f (v') (v)\)、したがって、\(f (v') = 0\); 各\(v' \in Ker (f)\)に対して、\(f (v') = 0\)、それが意味するのは、各\(v \in V\)に対して、\(f (v') (v) = 0\)、しかし、\(f (v') (v) = t (v', v)\)、したがって、\(v' \in V^\perp_t\)。
ステップ3:
ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則を\(f\)へ適用することによって、\(Dim (V') = Dim (Ker (f)) + Dim (f (V')) = Dim (V^\perp_t) + Dim (V^*)\)。
しかし、\(Dim (V^*) = Dim (V)\)である（ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義に対する"注"を参照のこと）から、\(= Dim (V) + Dim (V^\perp_t)\)。
