\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）であるものはオープン（開）であり、それはエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、もしも、オープンサブセット（開部分集合）はサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）であるものはオープン（開）であり、当該イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、はエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）はサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall U' \in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U' \cap M \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\})\)
\(\land\)
(
\(\forall U \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U' \in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U = U' \cap M))\)
\(\iff\)
\(M \in \{M' \text{ のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
)
//
2: 注
例えば、フィギュア-8（8の字）カーブ\(f: (- \pi, \pi) \to M' = \mathbb{R}^2, t \mapsto (sin (2 t), sin (t))\)のイメージ（像）\(M\)は、\(M'\)の非エンベデッドイマーストサブマニフォールドであり、\(M\)上の\(f (0) = (0, 0)\)周りの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）は、\(M\)に対する\(M'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）ではないが、\(M'\)上の\((0, 0)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{(0, 0)}\)に対して、\(U'_{(0, 0)} \cap M\)は\(M\)上でオープン（開）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: インクルージョン（封入）\(\iota: M \to M'\)を取り、\(U' \cap M = \iota^{-1} (U')\)であることを見る、それは、\(M\)上でオープン（開）である; ステップ2: \(\forall U \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U' \in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U = U' \cap M))\)であると仮定する; ステップ3: \(M\)は\(M'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ち、したがって、\(\iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることを見る; ステップ4: \(M\)はエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることを見る; ステップ5: \(\forall U \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U' \in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U = U' \cap M))\)が成立することを見る。
ステップ1:
\(\iota: M \to M'\)を当該インクルージョン（封入）としよう、それは、インジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョンである、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
\(U' \subseteq M'\)を\(M'\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U' \cap M = \iota^{-1} (U')\)、なぜなら、各\(p \in U' \cap M\)に対して、\(\iota (p) = p \in U'\)、したがって、\(p \in \iota^{-1} (U')\); 各\(p \in \iota^{-1} (U')\)に対して、\(\iota (p) = p \in U'\)および\(p \in M\)、したがって、\(p \in U' \cap M\)。
\(\iota\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは\(C^\infty\)である、したがって、\(\iota^{-1} (U')\)は\(M\)上でオープン（開）である。
したがって、\(U' \cap M\)は\(M\)上でオープン（開）である。
ステップ2:
\(\forall U \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U' \in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U = U' \cap M))\).
ステップ3:
当該仮定およびステップ1によって、\(M\)の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、それが\(U' \cap M\)である場合、そしてその場合に限って、それが意味するのは、\(M\)は\(M'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つということ。
したがって、当該インクルージョン（封入）\(\iota: M \to \iota (M) \subseteq M'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(\iota: M \to M'\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。
したがって、\(M\)は\(M'\)のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
ステップ4:
\(M\)は\(M'\)のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
ステップ5:
\(M\)は\(M'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ、エンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
したがって、\(\forall U \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U' \in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U = U' \cap M))\)が成立する。
