\(C^\infty\)イマージョンたちのコンポジション（合成）は\(C^\infty\)イマージョンであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)イマージョンの定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)イマージョンたちのコンポジション（合成）は\(C^\infty\)イマージョンであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M'_1, ..., M'_{n + 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\{M_2, ..., M_{n + 1}\}\): \(M_j \in \{M'_j \text{ の全てのイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: M'_j \to M_{j + 1}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\)
\(f_n \circ ... \circ f_1\): \(M'_1 \to M_{n + 1}, m \mapsto f_n (f_{n - 1} (... (f_1 (m))))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_n \circ ... \circ f_1 \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\)
//
2: 注
'コンポジション（合成）'の概念は\(M_j \subset M'_j\)を許す。
各\(f_j\)のコドメイン（余域）はイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、（単なるサブセット（部分集合）でなく）である、したがって、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、なぜなら、私たちは、'\(C^\infty\)イマージョン'を任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、から任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中へ定義した。
勿論、\(M_j\)は\(M'_j\)にできる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各インクルージョン（封入）\(\iota_j: M_j \to M'_j\)を取る; ステップ2: \(f_n \circ ... \circ f_1 = f_n \circ \iota_n ... \iota_2 \circ f_1\)であることを見る; ステップ3: \(d (f_n \circ ... \circ f_1) = d f_n \circ d \iota_n \circ ... d \iota_2 \circ d f_1\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(j \in \{2, ..., n + 1\}\)に対して、\(\iota_j: M_j \to M'_j\)をインクルージョン（封入）としよう、それは、\(C^\infty\)イマージョンである、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
ステップ2:
\(f_n \circ ... \circ f_1 = f_n \circ \iota_n ... \iota_2 \circ f_1\)。
ステップ3:
\(d (f_n \circ ... \circ f_1) = d (f_n \circ \iota_n ... \iota_2 \circ f_1) = d f_n \circ d \iota_n ... d \iota_2 \circ d f_1\)、よく知られているとおり: ステップ2内の変換はこのために必要だった: "\(d f_n \circ ... \circ d f_1\)"は妥当でないことになる、なぜなら、\(d f_1 (v) \in T_{f_1 (m)}M_2\)、それは\(d f_2: T_{f_1 (m)}M'_2 \to T_{f_2 \circ f_1 (m)}M_3\)の中へ渡すことはできなくなる、なぜなら、\(d f_1 (v) \notin T_{f_1 (m)}M'_2\)。
ステップ4:
\(f_n \circ \iota_n ... \iota_2 \circ f_1\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
各\(d f_j\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(f_j\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
各\(d \iota_j\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(\iota_j\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
したがって、\(d f_n \circ d \iota_n ... d \iota_2 \circ d f_1\)はインジェクティブ（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって。
したがって、\(f_n \circ ... \circ f_1 = f_n \circ \iota_n ... \iota_2 \circ f_1\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
