ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちのファイナイト（有限）-'ダイレクトサム'上のプロダクトノルムの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちのファイナイト（有限）-'ダイレクトサム'上のプロダクトノルムの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( \{V_j \vert j \in J\}\): \(V_j \in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_j\)を持つもの
\( \oplus_{j \in J} V_j\): \(= \text{ 当該ダイレクトサム }\)
\(*\Vert \bullet \Vert\): \(: \oplus_{j \in J} V_j \to \mathbb{R}\), \(\in \{\oplus_{j \in J} V_j\} \text{ 上方の全てのノルムたち }\)
//
コンディションたち:
\(\forall v = \times_{j \in J} v_j \in \oplus_{j \in J} V_j (\Vert v \Vert = \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v_j \Vert_j}^2})\)
//
2: 注
\(\Vert \bullet \Vert\)は本当にノルムであることを見よう。
\(v, v' \in \oplus_{j \in J} V_j\)および\(r \in F\)を任意のものたちとしよう。
1) (\(0 \le \Vert v \Vert\)) \(\land\) (\((0 = \Vert v \Vert) \iff (v = 0)\)); \(0 \le \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v_j \Vert_j}^2} = \Vert v \Vert\); \(v = 0\)である時、各\(j \in J\)に対して、\(v_j = 0\)、したがって、\(\Vert v_j \Vert_j = 0\)、したがって、\(\Vert v \Vert = \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v_j \Vert_j}^2} = 0\); \(\Vert v \Vert = 0\)である時、各\(j \in J\)に対して、\(\Vert v_j \Vert_j = 0\)、したがって、\(v_j = 0\)、したがって、\(v = 0\)。
2) \(\Vert r v \Vert = \vert r \vert \Vert v \Vert\): \(\Vert r v \Vert = \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert r v_j \Vert_j}^2} = \sqrt{\sum_{j \in J} (\vert r \vert \Vert v_j \Vert_j)^2} = \sqrt{\sum_{j \in J} \vert r \vert^2 {\Vert v_j \Vert_j}^2} = \vert r \vert \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v_j \Vert_j}^2} = \vert r \vert \Vert v \Vert\)。
3) \(\Vert v + v' \Vert \le \Vert v \Vert + \Vert v' \Vert\): \(\Vert v + v' \Vert = \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v_j + v'_j \Vert_j}^2} \le \sqrt{\sum_{j \in J} (\Vert v_j \Vert_j + \Vert v'_j \Vert_j)^2} \le \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v_j \Vert_j}^2} + \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert v'_j \Vert_j}^2}\)、リアルナンバー（実数）たちの\(2\)個の任意の\(n\)-シーケンス（列）たちに対して、当該シーケンス（列）たちの対応する項目たちの合計たちの2乗たちの合計の平方根は、シーケンス（列）たちの項目たちの2乗たちの合計たちの平方根たちの合計以下であるという命題によって、\(= \Vert v \Vert + \Vert v' \Vert\)。
