リアルナンバー（実数）たちの\(2\)個の\(n\)-シーケンス（列）たちに対して、シーケンス（列）たちの対応する項目たちの合計たちの2乗たちの合計の平方根は、シーケンス（列）たちの項目たちの2乗たちの合計たちの平方根たちの合計以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちの\(2\)個の任意の\(n\)-シーケンス（列）たちに対して、当該シーケンス（列）たちの対応する項目たちの合計たちの2乗たちの合計の平方根は、シーケンス（列）たちの項目たちの2乗たちの合計たちの平方根たちの合計以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(s_1\): \(: \{1, ..., n\} \to \mathbb{R}\)
\(s_2\): \(: \{1, ..., n\} \to \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (s_1 (j) + s_2 (j))^2} \le \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} + \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \le \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2}\)であることを見る; ステップ2: \(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (s_1 (j) + s_2 (j))^2 \le (\sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} + \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2})^2\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）\(\mathbb{R}^n\)でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもののことを考えよう。
\((s_1 (1), ..., s_1 (n)), (s_2 (1), ..., s_2 (n)) \in \mathbb{R}^n\)のことを考えよう。
\(\vert \langle (s_1 (1), ..., s_1 (n)), (s_2 (1), ..., s_2 (n)) \rangle \vert \le \sqrt{\langle (s_1 (1), ..., s_1 (n)), (s_1 (1), ..., s_1 (n)) \rangle} \sqrt{\langle (s_2 (1), ..., s_2 (n)), (s_2 (1), ..., s_2 (n)) \rangle}\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって。
それが意味するのは、\(\vert \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \vert \le \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_1 (j)} \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j) s_2 (j)}\)。
\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \le \vert \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \vert\)であるから、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \le \vert \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \vert \le \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2}\)。
ステップ2:
\(2 \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \le 2 \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2}\)。
\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2 + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2 + 2 \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j) s_2 (j) \le \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2 + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2 + 2 \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2}\)。
左辺は、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (s_1 (j) + s_2 (j))^2\)である。
右辺は、\((\sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} + \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2})^2\)である。
したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (s_1 (j) + s_2 (j))^2 \le (\sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} + \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2})^2\)。
ステップ3:
したがって、\(\sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (s_1 (j) + s_2 (j))^2} \le \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_1 (j)^2} + \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., n\}} s_2 (j)^2}\)。
