シルベスターの、エルミートマトリックス（行列）のシグネチャー（符号定数）の慣性法則の記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、エルミートマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系を認めている。
- 読者は、任意のインバーティブル（可逆）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のエルミートコンジュゲート（共役）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のマトリックス（行列）のランク（階数）は左および右から任意のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たちを掛けることによって保存されるという命題を認めている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、シルベスターの、エルミートマトリックス（行列）のシグネチャー（符号定数）の慣性法則の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \times d \text{ エルミートマトリックス（行列）たち }\}\)
\((p, n, z)\): \(= M \text{ のシグネチャー（符号定数） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall N \in \{\text{ 全てのインバーティブルマトリックス（可逆行列）たち }\} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } N^* M N = P \text{ 、ここで、 } P \text{ は任意のダイアゴナル（対角）要素たち } (\rho_1, ..., \rho_d) \text{ を持つダイアゴナルマトリックス（対角行列） } ((\rho_1, ..., \rho_d) \text{ は } p \text{ ポジティブ（正）たち、 } n \text{ ネガティブ（負）たち、 } z \text{ } 0 \text{ たちを持つ })\)
//
2: 注
実のところ、そうした\(N\)たちがある、なぜなら、任意のエルミートマトリックス（行列）はあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）によってダイアゴナライズ（対角化）できてリアル（実）ダイアゴナル（対角）要素たちを持つ、よく知られているとおり。
即座の系として、\(M' = N'^* M N'\)、ここで、\(N'\)は任意のインバーティブルマトリックス（可逆行列）、（\(M'\)はエルミートである、なぜなら、\(M'^* = (N'^* M N')^* = N'^* M^* {N'^*}^* = N'^* M N' = M'\)）に対して、\(M'\)は\(M\)のシグネチャー（符号定数）を持つ、なぜなら、任意のダイアゴナライゼーション（対角化）\(\Lambda' = O'^* M' O'\)に対して、\(\Lambda' = O'^* N'^* M N' O' = (N' O')^* M N' O'\)、したがって、\(\Lambda'\)は、\(p\)ポジティブ（正）たち、\(n\)ネガティブ（負）たち、\(z\) \(0\)たちを持つ、本命題によって、それが意味するのは、\(M'\)はシグネチャー（符号定数）\((p, n, z)\)を持つこと、本命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((\rho_1, ..., \rho_d)\)の要素たちは全てリアル（実）であることを見る; ステップ2: 一般性を失わうことなく、\((\rho_1, ..., \rho_{p'})\)がポジティブ（正）、\((\rho_{p' + 1}, ..., \rho_{p' + n'})\)がネガティブ（負）、\((\rho_{p' + n' + 1}, ..., \rho_{p' + n' + z'})\)が\(0\)であると仮定であることを見る; ステップ3: \(M\)のアイゲンバリュー（固有値）たちを\((\lambda_1, ..., \lambda_p, \lambda_{p + 1}, ..., \lambda_{p + n}, \lambda_{p + n + 1}, ..., \lambda_{p + n + z})\)とし、以下を満たすあるインバーティブル（可逆）\(O\)、つまり、\(O^* M O = \Lambda\)、ここで、\(\Lambda\)はダイアゴナル（対角）要素たち\((\lambda_1, ..., \lambda_d)\)を持つダイアゴナルマトリックス（行列）である、があることを見る; ステップ4: \(z' = z\)であることを見る; ステップ5: \(p \lt p'\)であると仮定し、ある矛盾を見つける、マトリックス（行列）\(S := (O_1, ..., O_p, N_{p' + 1}, ..., N_{p' + n'})\)、マップ（写像）\(f: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^{p + n'}, v \mapsto S^* M v\)、ある\(v_0 \in Ker (f)\)を取り、\({v_0}^* M v_0\)はネガティブ（負）かつポジティブ（正）であることを見ることによって。
ステップ1:
\((\rho_1, ..., \rho_d)\)の要素たちは本当に全てリアル（実）たちであることを見よう。
\(P^* = (N^* M N)^* = N^* M^* {N^*}^*\)、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、\(= N^* M N = P\)。
特に、\({P^*}^j_j = P^j_j\)、それが意味するのは、\(\overline{\rho_j} = \rho_j\)、それが意味するのは、\(\rho_j\)はリアル（実）であること。
Step 2:
もしも、\((\rho_1, ..., \rho_d)\)が\((\rho_1, ..., \rho_{p'})\)がポジティブ（性）、\((\rho_{p' + 1}, ..., \rho_{p' + n'})\)がネガティブ（負）、\((\rho_{p' + n' + 1}, ..., \rho_{p' + n' + z'})\)が\(0\)である順序にない場合、以下を満たすあるパーミュテーション（並び替え）\(\sigma: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}\)、つまり、\((\rho_{\sigma_1}, ..., \rho_{\sigma_d})\)はそうした順序にある、がある。
以下を満たすあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）\(N'\)、つまり、\((N N')^* M N N' = P'\)、ここで、\(P'\)はダイアゴナル（対角）要素たち\((\rho_{\sigma_1}, ..., \rho_{\sigma_d})\)を持つダイアゴナルマトリックス（対角行列）、があることを見よう。
\(N'\)を\(N'^j_l = \delta_{j, \sigma_l}\)であるとしよう、それが意味するのは、\(l\)-番目列は、\(\sigma_l\)-番目行のみが\(1\)で他たちは\(0\)であること、それはインバーティブル（可逆）である、なぜなら、繰り返し任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系を使うことで、\(N'\)の第1列は単一\(1\)を持ち、\(det N' = M_{\sigma_1, 1}\)、しかし、\((\sigma_1, 1)\)マイナー（小行列）の第1列は単一の\(1\)を持つから、\(M_{\sigma_1, 1}\)は同様に展開される、等々と続く、結局、最後のマイナー（小行列）は\(1\)である、したがって、\(det N'\)は\(1\)または\(-1\)である。
\((N N')^* M N N' = N'^* N^* M N N' = N'^* P N'\)、そして、\((N'^* P N')^j_l = {N'^*}^j_o P^o_p N'^p_l = \delta_{o, \sigma_j} P^o_p \delta_{p, \sigma_l} = P^{\sigma_j}_{\sigma_l} = \rho_{\sigma_j} \delta_{j, l}\)、それが意味するのは、\((N N')^* M N N' = P'\)。
したがって、もしも、\(P\)が存在する場合、\(P'\)は存在する、そして、もしも、本命題が\(P'\)に対して成立すれば、本命題は\(P\)に対して成立する、なぜなら、\((\rho_1, ..., \rho_d)\)は単に\((\rho_{\sigma_1}, ..., \rho_{\sigma_d})\)のパーミュテーション（並び替え）である。
したがって、\((\rho_1, ..., \rho_{p'})\)がポジティブ（正）、\((\rho_{p' + 1}, ..., \rho_{p' + n'})\)がネガティブ（負）、\((\rho_{p' + n' + 1}, ..., \rho_{p' + n' + z'})\)が\(0\)であるケースに対してのみ本命題を証明すればよい。
ステップ3:
\(M\)のアイゲンバリュー（固有値）たちを、ポジティブ（正）\((\lambda_1, ..., \lambda_p)\)、ネガティブ（負）\((\lambda_{p + 1}, ..., \lambda_{p + n})\)、\(0\) \((\lambda_{p + n + 1}, ..., \lambda_{p + n + z})\)としよう。
以下を満たすあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）\(O\)、つまり、\(O^* M O = \Lambda\)、ここで、\(\Lambda\)はダイアゴナル（対角）要素たち\((\lambda_1, ..., \lambda_d)\)を持つダイアゴナルマトリックス（対角行列）、がある、なぜなら、以下を満たすあるユニタリマトリックス（行列）\(U\)、つまり、\(U^* M U\)はダイアゴナル（対角）要素たちを\((\lambda_1, ..., \lambda_d)\)のある順序として持つダイアゴナルマトリックス（対角行列）である、がある、よく知られているとおり、ところ、当該順序はあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）によって\((\lambda_1, ..., \lambda_d)\)に変えることができる、ステップ2内におけるとおり。
ステップ4:
したがって、私たちは、\(N^* M N = P\)および\(O^* M O = \Lambda\)を持っており、\(P = N^* {O^*}^{-1} \Lambda O^{-1} N = N^* {O^{-1}}^* \Lambda O^{-1} N\)、任意のインバーティブル（可逆）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のエルミートコンジュゲート（共役）であるという命題によって、\(=(O^{-1} N)^* \Lambda O^{-1} N\)。
したがって、\(P\)のランク（階数）は\(\Lambda\)のランク（階数）に等しい、任意のフィールド（体）上方の任意のマトリックス（行列）のランク（階数）は左および右から任意のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たちを掛けることによって保存されるという命題によって。
しかし、\(Rank (P) = p' + n'\)および\(Rank (\Lambda) = p + n\)、そして、\(d = p' + n' + z' = p + n + z\)であるから、\(z = z'\)。
ステップ5:
\(p \lt p'\)であると仮定しよう。
\(d \times (p + n')\)マトリックス（行列）\(S := (O_1, ..., O_p, N_{p' + 1}, ..., N_{p' + n'})\)、ここで、\(O_j\)は\(O\)の\(j\)-番目列で\(N_j\)は\(N\)の\(j\)-番目列、を取ろう。
\(S^* = \begin{pmatrix} {O_1}^* \\ ... \\ {O_p}^* \\ {N_{p' + 1}}^* \\ ... \\ {N_{p' + n'}}^* \end{pmatrix}\)。
マップ（写像）\(f: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^{p + n'}, v \mapsto S^* M v\)を取ろう。
\(f\)はリニア（線形）である。
したがって、\(Nullity (f) = d - Rank (f)\)、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則によって。
しかし、\(Rank (f) \le p + n' \lt p' + n'\)。
したがって、\(z = z' = d - (p' + n') \lt d - Rank (f) = Nullity (f)\)。
\(O\)はインバーティブル（可逆）であるから、\(\{O_1, ..., O_d\}\)は\(\mathbb{C}^d\)に対するベーシス（基底）である、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題によって: \((O_1, ..., O_d)\)は\((\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, ..., \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \end{pmatrix})\)のイメージ（像）である、それは、明らかにリニアにインディペンデント（線形独立）である。
\(N\)はインバーティブル（可逆）であるから、\(\{N_1, ..., N_d\}\)は\(\mathbb{C}^d\)に対するベーシス（基底）である、同様に。
したがって、各\(v \in \mathbb{C}^d\)に対して、\(v = r^j O_j = s^j N_j\)。
以下を満たすある非ゼロ\(v_0 = r^j O_j = s^j N_j \in Ker (f)\)、つまり、ある\(1 \le j \le p + n\)に対してある非ゼロ\(r^j\)がありある\(1 \le j \le p' + n'\)に対してある非ゼロ\(s^j\)がある、がある、なぜなら、そうでなければ、\(Ker (f) \subseteq Span (\{O_{p + n + 1}, ..., O_d\})\)、それが意味することになるのは、\(Nullity (f) \le z\)、矛盾、\(Span (\{N_{p' + n' + 1}, ..., N_d\})\)に対しても同様。
\(f (v_0) = 0\)、しかし、\(f (v_0) = S^* M v_0 = S^* M r^j O_j = r^j S^* M O_j = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} r^j \begin{pmatrix} {O_1}^* M O_j \\ ... \\ {O_p}^* M O_j \\ {N_{p' + 1}}^* M O_j \\ ... \\ {N_{p' + n'}}^* M O_j \end{pmatrix} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} r^j \begin{pmatrix} \lambda_j \delta_{1, j} \\ ... \\ \lambda_j \delta_{p, j} \\ {N_{p' + 1}}^* M O_j \\ ... \\ {N_{p' + n'}}^* M O_j \end{pmatrix}\)。
したがって、各\(1 \le l \le p\)に対して、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} r^j \lambda_j \delta_{l, j} = 0\)、しかし、\(= r^l \lambda_l\)、しかし、\(0 \lt \lambda_l\)であるから、\(r^l = 0\)。
ある\(1 \le j \le p + n\)に対して\(r^j \neq 0\)であるから、ある\(p + 1 \le j \le p + n\)に対して\(r^j \neq 0\)。
同様に、\(0 = f (v_0) = S^* M v_0 = S^* M s^j N_j = s^j S^* M N_j = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} s^j \begin{pmatrix} {O_1}^* M N_j \\ ... \\ {O_p}^* M N_j \\ {N_{p' + 1}}^* M N_j \\ ... \\ {N_{p' + n'}}^* M N_j \end{pmatrix} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} s^j \begin{pmatrix} {O_1}^* M N_j \\ ... \\ {O_p}^* M N_j \\ \rho_j \delta_{p' + 1, j} \\ ... \\ \rho_j \delta_{p' + n', j} \end{pmatrix}\)。
したがって、各\(1 \le l \le n'\)に対して、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} s^j \rho_j \delta_{p' + l, j} = 0\)、しかし、\(= s^{p' + l} \rho_{p' + l}\)、しかし、\(\rho_{p' + l} \lt 0\)であるから、\(s^{p' + l} = 0\)。
ある\(1 \le j \le p' + n'\)に対して\(s^j \neq 0\)であるから、ある\(1 \le j \le p'\)に対して\(s^j \neq 0\)。
さて、\({v_0}^* M v_0 = (r^j O_j)^* M (r^l O_l) = \overline{r^j} r^l {O_j}^* M O_l\)を取る、しかし、\({O_j}^* M O_l\)は実のところ\(O^* M O = \Lambda\)の\((j, l)\)コンポーネント、それは\(\lambda_j \delta_{j, l}\)、である、したがって、\(= \sum_{j, l} \overline{r^j} r^l \lambda_j \delta_{j, l} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \overline{r^j} r^j \lambda_j\)、しかし、各\(1 \le j \le p\)に対して\(r^j = 0\)であるから、\(= \sum_{j \in \{p + 1, ..., d\}} \overline{r^j} r^j \lambda_j\)、それはネガティブ（負）である。
他方で、\({v_0}^* M v_0 = (s^j N_j)^* M (s^l N_l) = \overline{s^j} s^l {N_j}^* M N_l\)、しかし、\({N_j}^* M N_l\)は実のところ\(N^* M N = P\)の\((j, l)\)コンポーネント、それは\(\rho_j \delta_{j, l}\)、である、したがって、\(= \sum_{j, l} \overline{s^j} s^l \rho_j \delta_{j, l} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \overline{s^j} s^j \rho_j\)、しかし、各\(p' + 1 \le j \le p' + n'\)に対して\(s^j = 0\)であるから、\(= \sum_{j \in \{1, ..., p'\}} \overline{s^j} s^j \rho_j\)、それはポジティブ（正）である。
したがって、矛盾を見つけた。
したがって、\(p' \le p\)。
しかし、対称性によって、\(p \le p'\)。
したがって、\(p' = p\)。
したがって、\(n' = n\)。
