コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でベーシス（基底）を持つものに対して、カノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）は、コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）とそれに\(i\)を掛けたもののユニオン（和集合）であるベーシス（基底）を持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のベーシス（基底）を持つものに対して、カノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）は、当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）とそれに\(i\)を掛けたもののユニオン（和集合）であるベーシス（基底）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\(B'\): \(= B \cup \{i b_j \vert j \in J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B' \in \{ \text{ カノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）としての } V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B'\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であることを見る; ステップ2: \(B'\)は\(V\)をスパンする（張る）ことを見る。
ステップ1:
\(B'\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であることを見よう。
\(r_{j_1} b_{j_1} + ... + r_{j_m} b_{j_m} + r_{l_1} i b_{l_1} + ... + r_{l_n} i b_{l_n} = 0\)、ここで、\(r_{j_1}, ..., r_{j_m}, r_{l_1}, ..., r_{l_n} \in \mathbb{R}\)、としよう。
\(\{b_{k_1}, ..., b_{k_p}\} := \{b_{j_1}, ..., b_{j_m}\} \cup \{b_{l_1}, ..., b_{l_n}\}\)とすると、上記等式の左辺は、\(c_{k_1} b_{k_1} + ... + c_{k_p} b_{k_p}\)、ここで、\(c_{k_1}, ..., c_{k_p} \in \mathbb{C}\)、である。
\(B\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、\(c_{k_1} = ... = c_{k_p} = 0\)。
各\(r_{j_q}\)は、ある\(c_{k_r}\)のリアル（実）部として現われるが、それは\(0\)である、\(c_{k_r} = 0\)であるから。
各\(r_{l_q}\)は、ある\(c_{k_r}\)のイマジナリー（虚）部として現われるが、それは\(0\)である、\(c_{k_r} = 0\)であるから。
したがって、\(r_{j_1} = ... = r_{j_m} = r_{l_1} = ... = r_{l_n} = 0\)。
それが意味するのは、\(B'\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であること。
ステップ2:
\(B'\)は\(V\)をスパンする（張る）ことを見よう。
各\(v \in V\)に対して、\(v = c_{k_1} b_{k_1} + ... + c_{k_p} b_{k_p}\)、なぜなら、\(B\)\(V\)をスパンする（張る）。
\(c_{k_q} = r_{k_q} + r'_{k_q} i\)、ここで、\(r_{k_q}, r'_{k_q} \in \mathbb{R}\)。
したがって、\(v = (r_{k_1} + r'_{k_1} i) b_{k_1} + ... + (r_{k_p} + r'_{k_p} i) b_{k_p} = r_{k_1} b_{k_1} + ... + r_{k_p} b_{k_p} + r'_{k_1} i b_{k_1} + ... + r'_{k_p} i b_{k_p}\)。
それが意味するのは、\(B'\)は\(V\)をスパンする（張る）こと。
