リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムで、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）によってインデュースト（誘導された）もの、の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムで、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）によってインデュースト（誘導された）もの、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \Vert \bullet \Vert'\): \(: V' \to \mathbb{R}\), \(\in \{V' \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
\( f\): \(: V \to V'\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(*\Vert \bullet \Vert\): \(: V \to \mathbb{R}, v \mapsto \Vert f (v) \Vert'\), \(\in \{V \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(\Vert \bullet \Vert\)は本当に\(V\)上のノルムであることを見よう。
\(v_1, v_2 \in V\)および\(r \in F\)を任意のものとしよう。
1) (\(0 \le \Vert v_1 \Vert\)) \(\land\) (\((0 = \Vert v_1 \Vert) \iff (v_1 = 0)\)): \(0 \le \Vert f (v_1) \Vert' = \Vert v_1 \Vert\); もしも、\(v_1 = 0\)である場合、\(f (v_1) = 0\)、したがって、\(\Vert v_1 \Vert = \Vert f (v_1) \Vert' = 0\)、その一方で、もしも、\(\Vert v_1 \Vert = \Vert f (v_1) \Vert' = 0\)である場合、\(f (v_1) = 0\)、したがって、\(v_1 = 0\)。
2) \(\Vert r v_1 \Vert = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\): \(\Vert r v_1 \Vert = \Vert f (r v_1) \Vert' = \Vert r f (v_1) \Vert' = \vert r \vert \Vert f (v_1) \Vert' = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\)。
3) \(\Vert v_1 + v_2 \Vert \le \Vert v_1 \Vert + \Vert v_2 \Vert\): \(\Vert v_1 + v_2 \Vert = \Vert f (v_1 + v_2) \Vert' = \Vert f (v_1) + f (v_2) \Vert' \le \Vert f (v_1) \Vert' + \Vert f (v_2) \Vert' = \Vert v_1 \Vert + \Vert v_2 \Vert\)。
