コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、レンジ（値域）が\(2\)個のポイントたちを包含している場合、レンジ（値域）はポイントたち間の任意のポイントを包含することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、当該レンジ（値域）が任意の\(2\)個のポイントたちを包含している場合、当該レンジ（値域）は当該ポイントたち間の任意のポイントを包含するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T_1 \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r_1, r_2 \in f (T_1)\)
\(\implies\)
\(\forall t \in [0, 1] (r_1 + t (r_2 - r_1) \in f (T_1))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r_1 + t (r_2 - r_1) \notin f (T_1)\)であると仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(r_1 + t (r_2 - r_1) \notin f (T_1)\)であったと仮定しよう。
\((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1)) \subseteq \mathbb{R}\)および\((r_1 + t (r_2 - r_1), \infty) \subseteq \mathbb{R}\)は、\(\mathbb{R}\)のオープンサブセット（開部分集合）たちであることになる。
\(f^{-1} (\mathbb{R} \setminus \{r_1 + t (r_2 - r_1)\}) = f^{-1} ((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1)) \cup (r_1 + t (r_2 - r_1), \infty)) = T_1\)。
しかし、\(f^{-1} ((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1)) \cup (r_1 + t (r_2 - r_1), \infty)) = f^{-1} ((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1))) \cup f^{-1} ((r_1 + t (r_2 - r_1), \infty))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f^{-1} ((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1))) \subseteq T_1\)および\(f^{-1} ((r_1 + t (r_2 - r_1), \infty)) \subseteq T_1\)は\(T_1\)のオープンサブセット（開部分集合）たちであるということになる、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）であった。
\(f^{-1} ((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1))) \neq \emptyset\)および\(f^{-1} ((r_1 + t (r_2 - r_1), \infty)) \neq \emptyset\)、なぜなら、\(r_1, r_2 \in f (T_1)\)。
\(f^{-1} ((- \infty, r_1 + t (r_2 - r_1))) \cap f^{-1} ((r_1 + t (r_2 - r_1), \infty)) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
したがって、\(T_1\)はディスコネクテッド（連結されていない）であることになる、矛盾。
したがって、\(r_1 + t (r_2 - r_1) \notin f (T_1)\)は誤りだった、したがって、\(r_1 + t (r_2 - r_1) \in f (T_1)\)。
