リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）、コンベックスサブセット（凸部分集合）、コンベックスサブセット（凸部分集合）上のファイナイト（有限）個ポイントたちに対して、ポイントたちのコンベックスコンビネーションはコンベックスサブセット（凸部分集合）上にあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）、任意のコンベックスサブセット（凸部分集合）、当該コンベックスサブセット（凸部分集合）上の任意のファイナイト（有限）個ポイントたちに対して、当該ポイントたちの任意のコンベックスコンビネーションは当該コンベックスサブセット（凸部分集合）上にあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\)
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのコンベックスサブセット（凸部分集合）たち }\}\)
\(\{s_0, ..., s_n\} \subseteq S\):
\(v\): \(= t^j s_j\), \(\in \{\{s_1, ..., s_n\} \text{ の全てのコンベックス（凸）コンビネーションたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(v \in S\)
//
2: 証明
全体戦略: \(n\)に関するインダクションプリンシプル（帰納法）によって、それを見る; ステップ1: \(n = 0\)である時、それが成立することを見る; ステップ2: \(n = 1\)である時、それが成立することを見る; ステップ3: \(2 \le n'\)に対して\(0 \le n \le n' - 1\)である時、それが成立すると仮定して、\(n = n'\)である時、それが成立することを見る。
ステップ1:
\(n = 0\)であると仮定しよう。
\(v = t^j s_j = t^0 s_0 = 1 s_0 = s_0 \in S\)。
ステップ2:
\(n = 1\)であると仮定しよう。
\(v = t^j s_j = t^0 s_0 + t^1 s_1 = (1 - t^1) s_0 + t^1 s_1 = s_0 + t^1 (s_1 - s_0) \in S\)。
ステップ3:
\(2 \le n'\)に対して\(0 \le n \le n' - 1\)である時、\(v \in S\)であると仮定しよう。
\(n = n'\)であると仮定しよう。
\(v = t^j s_j = \sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} t^j s_j + t^{n'} s_{n'}\)。
\(t^{n'} = 1\)である時、\(t^0 = ... = t^{n' - 1} = 0\)、そして、\(v = t^{n'} s_{n'} = s_{n'} \in S\)。
\(t^{n'} \neq 1\)である時、\(v = (1 - t^{n'}) (1 / (1 - t^{n'}) \sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} t^j s_j) + t^{n'} s_{n'} = (1 - t^{n'}) (\sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} 1 / (1 - t^{n'}) t^j s_j) + t^{n'} s_{n'}\)。
\(0 \le 1 / (1 - t^{n'}) t^j\)および\(\sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} 1 / (1 - t^{n'}) t^j = 1 / (1 - t^{n'}) \sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} t^j = 1 / (1 - t^{n'}) (1 - t^{n'}) = 1\)、したがって、\(\sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} 1 / (1 - t^{n'}) t^j s_j\)は\(\{s_0, ..., s_{n' - 1}\}\)のコンベックス（凸）コンビネーションである、したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、\(\sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} 1 / (1 - t^{n'}) t^j s_j \in S\)。
\(0 \le 1 - t^{n'}, t^{n'}\)および\(1 - t^{n'} + t^{n'} = 1\)であるから、\(v = (1 - t^{n'}) (\sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} 1 / (1 - t^{n'}) t^j s_j) + t^{n'} s_{n'}\)は\(\{\sum_{j \in \{0, ..., n' - 1\}} 1 / (1 - t^{n'}) t^j s_j, s_{n'}\}\)のコンベックス（凸）コンビネーションである、したがって、\(v \in S\)。
