アーベリアングループ（アーベル群）のサブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アーベリアングループ（アーベル群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアーベリアングループ（群）の任意のサブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのアーベリアングループ（アーベル群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G \in \{G' \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(g' \in G'\)を取り、\(g' G g'^{-1} = G\)であることを見る。
ステップ1:
\(g' \in G'\)を任意のものとしよう。
\(g' G g'^{-1} = G\)であることを見よう。
\(g' g g'^{-1} \in g' G g'^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(g' g g'^{-1} = g' g'^{-1} g = g \in G\)、したがって、\(g' G g'^{-1} \subseteq G\)。
\(g \in G\)を任意のものとしよう。
\(g = g' g'^{-1} g = g' g g'^{-1} \in g' G g'^{-1}\)、したがって、\(G \subseteq g' G g'^{-1}\)。
したがって、\(g' G g'^{-1} = G\)。
