フリーアーベリアングループ（アーベル群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アーベリアングループ（アーベル群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フリーアーベリアングループ（アーベル群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*G\): \(\in \{\text{ 全てのアーベリアングループ（アーベル群）たち }\}\)で、アディティブ（加法群）として表現されたもの
//
コンディションたち:
\(\exists B \subseteq G (\forall \{b_1, ..., b_n\} \subseteq B (z^1 b_1 + ... + z^n b_n = 0 \implies z^j = 0) \land (B) = G)\)
//
\(z^j b_j\)が意味するのは、\(z^j\)個の\(b_j\)たちで\(b_j + ... + b_j\)か\(- z^j\)個の\(b_j\)たちで\((- b_j) + ... + (- b_j)\)かである、したがって、\(z^j \in \mathbb{Z}\)。
\(B\)は、"\(G\)のベーシス（基底）"と呼ばれる。
2: 注
"アディティブ（加法群）として表現された"というのは、単に私たちの記法に対しての宣言にすぎず、それは本当に\(G\)を制限することは全くない: それは、グループ（群）オペレーションを\(+\)として表わすという問題である。
グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義内で見られたとおり、\(G = (B)\)は、\(B\)の要素たちとそれらのインバース（逆）たちの全てのファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）たち（それらは、アディティブ（加法）アーベリアングループ（アーベル群）内ではアディション（和）たちである）のセット（集合）である、したがって、\(G\)の各要素は\(z^1 b_1 + ... + z^n b_n\)として表わされる、それは、ユニークな表現である、なぜなら、\(z^1 b_1 + ... + z^n b_n = z'^1 b_1 + ... + z'^n b_n\)である時、\((z^1 - z'^1) b_1 + ... + (z^n - z'^n) b_n = 0\)、それが含意するのは、\(z^j = z'^j\)。
