トポロジカルスペース（空間）およびディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、必ずしも、サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）ではないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、必ずしも、当該サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T' \vert j \in J\}\): で、\(j \neq j'\)である各\(j, j' \in J\)に対して、\(S_j \cap S_{j'} = \emptyset\)であるもの
\(T\): \(= \cup_{j \in J} S_j \subseteq T'\)で、トポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたもの
\(\coprod_{j \in J} S_j\): \(= \text{ 当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも、\(T = \coprod_{j \in J} S_j\)ではない
//
その理由は、\(J\)が必ずしもファイナイト（有限）でないことではない。
2: 注
任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のディスジョイント（互いに素）オープンサブセット（開部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）であるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある反例を見る。
ステップ1:
ある反例を見よう。
\(T' = \mathbb{R}\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）として、および\(\{S_j \subseteq T' \vert j \in J\} = \{S_1 = [-1, 0), S_2 = [0, 1]\}\)としよう。
\(T = [-1, 1]\)。
\(S = [0, 1)\)のことを考えよう。
\(S \cap S_1 = \emptyset\)、\(S_1\)上でオープン（開）; \(S \cap S_2 = [0, 1)\)、\(S_2\)上でオープン（開）、なぜなら、\(S \cap S_2 = (-1, 1) \cap S_2\)、ここで、\((-1, 1)\)は\(T'\)上でオープン（開）である。
したがって、\(S\)は\(\coprod_{j \in J} S_j\)上でオープン（開）である。
しかし、\(S\)は\(T\)上でオープン（開）でない、なぜなら、\(0 \in S\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(S\)内に包含されているものはない。
したがって、\(T \neq \coprod_{j \in J} S_j\)。
