トポロジカルスペース（空間）およびディスジョイント（互いに素）オープンサブセット（開部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペースおよび当該ベーススペース上の必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペースに対して、当該サブスペースの任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のディスジョイント（互いに素）オープンサブセット（開部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T' \vert j \in J\}\): で、\(j \neq j'\)を満たす各\(j, j' \in J\)に対して、\(S_j \cap S_{j'} = \emptyset\)を満たすもの
\(T\): \(= \cup_{j \in J} S_j \subseteq T'\)、トポロジカルサブスペース（部分空間）として
\(\coprod_{j \in J} S_j\): \(= \text{ ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (S_j \in \{T' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合たち） }\})\)
\(\implies\)
\(T = \coprod_{j \in J} S_j\)
//
2: 注
任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、必ずしも、当該サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）ではないという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S \subseteq T\)を\(T\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）とし、\(S\)は\(\coprod_{j \in J} S_j\)上でオープン（開）であることを見る; ステップ2: \(S \subseteq \coprod_{j \in J} S_j\)を\(\coprod_{j \in J} S_j\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）とし、\(S\)は\(T\)上でオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(S \subseteq T\)を\(T\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）をしよう。
\(S = U' \cap T\)、ここで、\(U' \subseteq T'\)は\(T'\)のオープンサブセット（開部分集合）、である。
各\(j \in J\)に対して、\(S \cap S_j = U' \cap T \cap S_j = U' \cap S_j\)、それは、\(S_j\)上でオープン（開）である。
したがって、\(S\)は\(\coprod_{j \in J} S_j\)上でオープン（開）である。
注意として、本ステップは、\(S_j\)が\(T'\)上でオープン（開）であることを必要としない。
ステップ2:
\(S \subseteq \coprod_{j \in J} S_j\)を\(\coprod_{j \in J} S_j\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
各\(j \in J\)に対して、\(S \cap S_j\)は\(S_j\)上でオープン（開）である。
したがって、\(S \cap S_j = U'_j \cap S_j\)、あるオープン（開）\(U'_j \subseteq T'\)に対して。
\(S = S \cap T = S \cap (\cup_{j \in J} S_j) = \cup_{j \in J} (S \cap S_j)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{j \in J} (U'_j \cap S_j)\)、それは\(T'\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(S_j\)は\(T'\)上でオープン（開）である。
したがって、\(S\)は\(T\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペースおよび当該ベーススペース上の必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペースに対して、当該サブスペースの任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、という命題によって。
注意として、本ステップは、\(S_j\)が\(T'\)上でオープン（開）であることを必要とする。
