ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対する、コベクトルたちスペース（空間）のベーシス（基底）のプリデュアルベーシス（基底）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対する、コベクトルたちスペース（空間）のベーシス（基底）のプリデュアルベーシス（基底）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（場）たち }\}\)
\( d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V^*\): \(= L (V: F)\)
\( J\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -カーディナリティ（濃度）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( B^*\): \(\in \{V^* \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b^j \vert j \in J\}\)
\(*B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall j \in J (\forall k \in J (b^j (b_k) = \delta^j_k))\)
//
2: 注
私たちは既に\(B^*\)を\(B\)から定義した、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義によって、ところ、本定義は、\(B\)を\(B^*\)から定義する。
\(B\)は、本当に\(B^*\)に対してユニークに存在することを見よう。
\(\{e_j \vert j \in J\}\)を\(V\)に対する任意のベーシス（基底）としよう: \(V\)と\(V^*\)が同一ディメンション（次元）を持っていることを私たちは既に知っている。
\(\{e^j \vert j \in J\}\)を、\(V^*\)に対する\(\{e_j \vert j \in J\}\)のデュアルベーシス（基底）としよう。
\(b^j = M^j_l e^l\)、ここで、\(M\)は、\(F\)上方のあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）である: インバーティブル（可逆）、なぜなら、\(B^*\)は\(V^*\)に対するあるベーシス（基底）である。
\(b_k = N^m_k e_m\)、ここで、\(N\)は\(F\)上方のあるマトリックス（行列）、としよう。
\(b^j (b_k) = M^j_l e^l (N^m_k e_m) = M^j_l N^m_k e^l (e_m) = M^j_l N^m_k \delta^l_m = M^j_l N^l_k = \delta^j_k\)、それが意味するのは、\(N\)は\(M\)のインバース（逆）\(M^{-1}\)であること。
実のところ、\(M\)はインバーティブル（可逆）であるから、\(M^{-1}\)は存在しインバーティブル（可逆）である、したがって、\(B := \{b_j = {M^{-1}}^l_j e_l \vert j \in J\}\)は、\(V\)に対するあるベーシス（基底）である。
\(b^j (b_k) = M^j_l e^l ({M^{-1}}^m_k e_m) = M^j_l {M^{-1}}^m_k e^l (e_m) = M^j_l {M^{-1}}^m_k \delta^l_m = M^j_l {M^{-1}}^l_k = \delta^j_k\)、したがって、\(B\)は、本当に\(B^*\)のあるプリデュアルである。
\(B\)はユニークである、なぜなら、\(N\)は\(M^{-1}\)である必要がある。
各\(v \in V\)に対して、\(v\)の\(B\)に関するコンポーネントたちは\(b^1 (v), ..., b^d (v)\)である、なぜなら、\(v = v^j b_j\)から、\(b^l (v) = b^l (v^j b_j) = v^j b^l (b_j) = v^j \delta^l_j = v^l\)。
