\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびコタンジェントベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームに対して、プリデュアルローカルフレームは\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-コベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対する、コベクトルたちスペース（空間）のベーシス（基底）のプリデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびコタンジェントベクトルたちバンドル（束）上の任意のローカル\(C^\infty\)フレームに対して、そのプリデュアルローカルフレームは\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((TM^*, M, \pi^*)\): \(= \text{ 当該コタンジェントベクトルたちバンドル（束） }\)
\((TM, M, \pi)\): \(= \text{ 当該タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\{t^1, ..., t^d\}\): \(\in \{U \text{ 上方の } TM^* \text{ 上の全てのローカル } C^\infty \text{ フレームたち }\}\)
\(\{v_1, ..., v_d\}\): \(= \{t^1, ..., t^d\} \text{ のプリデュアルローカルフレーム }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{v_1, ..., v_d\} \in \{U \text{ 上方の } TM \text{ 上の全てのローカル } C^\infty \text{ フレームたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: "\(\{t^1, ..., t^d\}\)のプリデュアルローカルフレーム"が何を意味するかを見る; ステップ2: \(v_j\)は\(C^\infty\)であることを見る。
ステップ1:
"\(\{t^1, ..., t^d\}\)のプリデュアルローカルフレーム"が何を意味するかを見る。
各\(u \in U\)に対して、\(\{t^1 (u), ..., t^d (u)\}\)は\({\pi^*}^{-1} (u)\)に対するあるベーシス（基底）である。
\(\{v_1 (u), ..., v_d (u)\}\)は、\(\{t^1 (u), ..., t^d (u)\}\)のプリデュアルベーシス（基底）である。
したがって、各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、私たちは、\(v_j: U \to \pi^{-1} (U)\)を定義した。
\(\pi (v_j (u)) = u\)、したがって、\(v_j\)はラフ（粗い）セクション（断面）である。
残っている課題は、\(v_j\)は\(C^\infty\)である（すると、不可避にコンティニュアス（連続）である）か否かである。
ステップ2:
\(f: U \to \mathbb{R}\)を任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）としよう。
各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(v_l (f) = d f (v_l)\)、ここで、\(d f \)は\(f\)のエクステリアデリバティブ（微分係数）、である。
\(d f\)は\(C^\infty\) 1-フォームである、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義に対する"注"によって。
したがって、\(d f = (d f)_j t^j\)、ここで、\((d f)_j: U \to \mathbb{R}\)は\(C\infty\)ファンクション（関数）である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(U\)はあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって。
したがって、\(v_l (f) = d f (v_l) = (d f)_j t^j (v_l) = (d f)_j \delta^j_l = (d f)_l\)、それは\(C^\infty\)である。
したがって、\(v_l\)は\(C^\infty\)である、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
