\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームに対して、デュアルローカルフレームは\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）上の任意のローカル\(C^\infty\)フレームに対して、デュアルローカルフレームは\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((TM, M, \pi)\): \(= \text{ 当該タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\((TM^*, M, \pi^*)\): \(= \text{ 当該コタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\{v_1, ..., v_d\}\): \(\in \{ U \text{ 上方の } TM \text{ 上の全てのローカル } C^\infty \text{ フレームたち }\}\)
\(\{t^1, ..., t^d\}\): \(= \{v_1, ..., v_d\} \text{ のデュアルローカルフレーム }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{t^1, ..., t^d\} \in \{U \text{ 上方の } TM^* \text{ 上の全てのローカル } C^\infty \text{ フレームたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: "\(\{v_1, ..., v_d\}\)のデュアルローカルフレーム"が何を意味するかを見る; ステップ2: \(t^j\)は\(C^\infty\)であることを見る。
ステップ1:
"\(\{v_1, ..., v_d\}\)のデュアルローカルフレーム"が何を意味するかを見よう。
各\(u \in U\)に対して、\(\{v_1 (u), ..., v_d (u)\}\)は、\(\pi^{-1} (u)\)に対するあるベーシス（基底）である。
\(\{t^1 (u), ..., t^d (u)\}\)は\(\{v_1 (u), ..., v_d (u)\}\)のデュアルベーシス（基底）である。
したがって、私たちは、各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(t^j: U \to {\pi^*}^{-1} (U)\)を定義した。
\(\pi^* (t^j (u)) = u\)、したがって、\(t^j\)はラフ（粗い）セクション（断面）である。
残っている課題は、\(t^j\)は\(C^\infty\)である（すると、不可避にコンティニュアス（連続）である）か否かである。
ステップ2:
注意として、\(U\)はある\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、\(M\)のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きとして、そして、\(\pi^{-1} (U)\)および\({\pi^*}^{-1} (U)\)はそのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）およびコタンジェントベクトルたちバンドル（束）である。
\(v: U \to \pi^{-1} (U)\)を任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）としよう。
\(v = v^j v_j\)、ここで、\(v^j: U \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(U\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって。
各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(t^l (v) = t^l (v^j v_j) = v^j t^l (v_j) = v^j \delta^l_j = v^l\)、それは\(C^\infty\)である。
したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(t^l\)は\(C^\infty\)である。
