モジュール（加群）のサブモジュール（部分加群）によるクウォシェント（商）モジュール（加群）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のサブモジュール（部分加群）によるクウォシェント（商）モジュール（加群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( M'\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\( M\): \(\in \{M' \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
\( \sim\): \(\in \{M' \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、\(\forall m'_1, m'_2 \in M' (m'_1 \sim m'_2 \iff m'_1 - m'_2 \in M)\)を満たすもの
\(*M' / M\): \(= M' / \sim\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r \in R, \forall [m_1], [m_2] \in M' / M (r [m_1] = [r m_1] \land [m_1] + [m_2] = [m_1 + m_2])\)
//
2: 注
\(M' / M\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(\sim\)は本当に\(M'\)上のイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。
各\(m' \in M'\)に対して、\(m' \sim m'\)、なぜなら、\(m' - m' = 0 \in M\)。
各\(m'_1, m'_2 \in M'\)に対して、\(m'_1 \sim m'_2\)は\(m'_2 \sim m'_1\)を含意する、なぜなら、\(m'_1 - m'_2 \in V\)であるから、\(m'_2 - m'_1 = - (m'_1 - m'_2) \in M\)。
各\(m'_1, m'_2, m'_3 \in M'\)に対して、\(m'_1 \sim m'_2\)および\(m'_2 \sim m'_3\)は、\(m'_1 \sim m'_3\)を含意する、なぜなら、\(m'_1 - m'_2 \in M\)および\(m'_2 - m'_3 \in M\)であるから、\(m'_1 - m'_3 = m'_1 - m'_2 + m'_2 - m'_3 = (m'_1 - m'_2) + (m'_2 - m'_3) \in M\)。
したがって、\(M' / \sim\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である、セット（集合）として。
当該オペレーションたちはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(r [m_1] = [r m_1]\)に対して、\([r m_1]\)は代表\(m_1\)の選択に依存しない、なぜなら、\([m_1] = [n_1]\)として、\(n_1 - m_1 := m \in M\)、そして、\([r n_1] = [r (m_1 + m)] = [r m_1 + r m]\)、しかし、\(r m_1 + r m - r m_1 = r m \in M\)、したがって、\([r n_1] = [r m_1]\)。
\([m_1] + [m_2] = [m_1 + m_2]\)に対して、\([m_1 + m_2]\)は代表たち\(m_1, m_2\)の選択たちに依存しない、なぜなら、\([m_1] = [n_1]\)および\([m_2] = [n_2]\)として、\(n_1 - m_1, n_2 - m_2 \in M\)であるから、\(n_1 + n_2 - (m_1 + m_2) = (n_1 - m_1) + (n_2 - m_2) \in M\)、したがって、\([n_1 + n_2] = [m_1 + m_2]\)。
\(M' / M\)は本当に\(R\)モジュール（加群）であることを見よう。
1) \(\forall [m_1], [m_2] \in M' / M ([m_1] + [m_2] \in M' / M)\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \([m_1] + [m_2] = [m_1 + m_2] \in M' / M\)。
2) \(\forall [m_1], [m_2] \in M' / M ([m_1] + [m_2] = [m_2] + [m_1])\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \([m_1] + [m_2] = [m_1 + m_2] = [m_2 + m_1] = [m_2] + [m_1]\)。
3) \(\forall [m_1], [m_2], [m_3] \in M' / M (([m_1] + [m_2]) + [m_3] = [m_1] + ([m_2] + [m_3]))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(([m_1] + [m_2]) + [m_3] = ([m_1 + m_2]) + [m_3] = [m_1 + m_2 + m_3] = [m_1] + [m_2 + m_3] = [m_1] + ([m_2] + [m_3])\)。
4) \(\exists [0] \in M' / M (\forall [m] \in M' / M ([m] + [0] = [m]))\)（0要素の存在: \([0] \in M' / M\)、そして、\([m] + [0] = [m + 0] = [m]\)。
5) \(\forall [m] \in M' / M (\exists [m'] \in M' / M ([m'] + [m] = [0]))\)（インバース（逆）要素の存在）: \([m'] := [- m] \in M' / M\)、そして、\([m'] + [m] = [- m] + [m] = [- m + m] = [0]\)。
6) \(\forall [m] \in M' / M, \forall r \in R (r . [m] \in M' / M)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(r . [m] = [r m] \in M' / M\)。
7) \(\forall [m] \in M' / M, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . [m] = r_1 . [m] + r_2 . [m])\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) . [m] = [(r_1 + r_2) m] = [r_1 m + r_2 m] = [r_1 m] + [r_2 m] = r_1 . [m] + r_2 . [m]\)。
8) \(\forall [m_1], [m_2] \in M' / M, \forall r \in R (r . ([m_1] + [m_2]) = r . [m_1] + r . [m_2])\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(r . ([m_1] + [m_2]) = r . [m_1 + m_2] = [r (m_1 + m_2)] = [r m_1 + r m_2] = [r m_1] + [r m_2] = r . [m_1] + r . [m_2]\)。
9) \(\forall [m] \in M' / M, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . [m] = r_1 . (r_2 . [m]))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((r_1 r_2) . [m] = [(r_1 r_2) m] = [r_1 (r_2 m)] = r_1 . (r_2 . [m])\)。
10) \(\forall [m] \in M' / M (1 . [m] = [m])\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(1 . [m] = [1 m] = [m]\)。
