ファイナイト（有限）プロダクトメトリック（計量）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクトメトリック（計量）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( \{M_j \vert j \in J\}\): \(M_j \in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、任意のメトリック（計量）\(dist_j\)を持つもの
\( \times_{j \in J} M_j\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(*dist\): \(: \times_{j \in J} M_j \times \times_{j \in J} M_j \to \mathbb{R}, (\times_{j \in J} {m_1}^j, \times_{j \in J} {m_2}^j) \mapsto \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2}\)
//
コンディションたち:
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2: 注
\(dist\)は本当にあるメトリック（計量）であることを見よう。
\(m_1, m_2, m_3 \in \times_{j \in J} M_j\)を任意のものとしよう。
1) \(0 \le dist (m_1, m_2)\)および\(dist (m_1, m_2) = 0 \iff m_1 = m_2\): \(0 \le \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2} = dist (m_1, m_2)\); もしも、\(dist (m_1, m_2) = 0\)である場合、\(dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) = 0\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\({m_1}^j = {m_2}^j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(m_1 = m_2\); もしも、\(m_1 = m_2\)である場合、\({m_1}^j = {m_2}^j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) = 0\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(dist (m_1, m_2) = \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2} = 0\)。
2) \(dist (m_1, m_2) = dist (m_2, m_1)\): \(dist (m_1, m_2) = \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2} = \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_2}^j, {m_1}^j)^2} = dist (m_2, m_1)\)。
3) \(dist (m_1, m_3) \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\): \(dist (m_1, m_3)^2 = \sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_3}^j)^2 \le \sum_{j \in J} (dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) + dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j))^2 = \sum_{j \in J} (dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2 + dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)^2 + 2 dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)) = \sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2 + \sum_{j \in J} dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)^2 + 2 \sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j) = dist (m_1, m_2)^2 + dist (m_2, m_3)^2 + 2 \sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)\), while \((dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3))^2 = dist (m_1, m_2)^2 + dist (m_2, m_3)^2 + 2 dist (m_1, m_2) dist (m_2, m_3) = dist (m_1, m_2)^2 + dist (m_2, m_3)^2 + 2 \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2} \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)^2}\), but \(\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j) dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j) \le \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)^2} \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)^2}\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）\(\mathbb{R}^{\vert J \vert}\)でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもののことを考え、\((dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)), (dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)) \in \mathbb{R}^{\vert J \vert}\)とみなす、すると、左辺は、\(\langle (dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)), (dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j) \rangle\)で、右辺は、\(\sqrt{\langle (dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)), (dist_j ({m_1}^j, {m_2}^j)) \rangle} \sqrt{\langle (dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)), (dist_j ({m_2}^j, {m_3}^j)) \rangle}\)、したがって、\(dist (m_1, m_3)^2 \le (dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3))^2\)、したがって、\(dist (m_1, m_3) \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\)。
