メトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、マップ（写像）がインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間でポイントにおいてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）スペース（空間）たちマップ（写像）でポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるものの定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）でポイントにおいてコンティニュアス（連続）なものの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）がインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間で当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(T_1\): \(= M_1 \text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_2\): \(= M_2 \text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(m\): \(\in M_1\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\)
\(f'\): \(: T_1 \to T_2, t \mapsto f (t)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{m \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f' \in \{m \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）であると仮定する; ステップ2: \(f'\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: \(f'\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）であると仮定する; ステップ4: \(f\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(U_{f (m)} \subseteq T_2\)を\(f (m)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たすある\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{f (m), \epsilon} \subseteq U_{f (m)}\)、がある、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(f (B_{m, \delta}) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f' (B_{m, \delta}) = f (B_{m, \delta}) \subseteq B_{f (m), \epsilon} \subseteq U_{f (m)}\)。
しかし、\(B_{m, \delta} \subseteq T_1\)は\(m\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"によって。
したがって、\(f'\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
\(f'\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(B_{f (m), \epsilon} \subseteq T_2\)はオープン（開）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"によって。
\(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq T_1\)、つまり、\(f' (U_m) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(B_{m, \delta} \subseteq U_m\)、がある、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
So, \(f (B_{m, \delta}) \subseteq f (U_m) = f' (U_m) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\). したがって、\(f (B_{m, \delta}) \subseteq f (U_m) = f' (U_m) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)。
したがって、\(f\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）である。
