メトリックスペース（計量付き空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）がサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）でトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であり、コーシー\(\epsilon\)コンディションに対する\(N\)はコンバージェンス（収束）\(\epsilon / 2\)コンディションに対する\(N\)に選べるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）が、中心たちを当該サブセット（部分集合）内にして、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のクローズドボール（閉球）はクローズド（閉）であり、同一半径を持つ対応するオープンボール（開球）のクロージャー（閉包）を包含するが、必ずしもそれに等しくないという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）でトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq M\)で、\(S \neq \emptyset\)を満たすもの
\(\overline{S}\): 当該メトリックサブスペース（計量付き部分空間）として
//
ステートメント（言明）たち:
1) \(\overline{S} \in \{M \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
2) \(\forall s: \mathbb{N} \to S (\exists s^` \in \{s \text{ の全てのサブシーケンス（部分列）たち }\}, \exists m \in \overline{S} (s^` \text{ は } m \text{ へコンバージ（収束）する }))\)
\(\iff\)
3)
(
\(\overline{S} \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(\overline{S} \in \{M \text{ の全てのトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）たち }\}\)
)
//
2: 注
\(\overline{S}\)がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であるということは、\(\overline{S}\)が、中心たちを\(S\)内に持って、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）であることに等しく、\(S\)がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であるということに等しい、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）が、中心たちを当該サブセット（部分集合）内にして、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ある即座の系として、\(S\)を\(M\)を取ることができ、すると、\(\overline{S} = M\)、したがって、\(M\)はコンパクトである、もしも、\(M\)の中への各シーケンス（列）が\(M\)内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ（それは、\(M\)がシーケンシャル（列的）にコンパクトであることを意味する）場合、そしてその場合に限って、もしも、\(M\)がコンプリート（完備）でトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 2)を仮定する; ステップ2: \(\overline{S}\)はコンプリート（完備）であることを見る; ステップ3: \(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であることを見る; ステップ4: 3)を仮定する; ステップ5: 1)が成立することを見る; ステッ6: 1)を仮定する; ステップ7: 2)が成立することを見る。
ステップ1:
2)であると仮定しよう。
ステップ2:
ステップ2戦略: ステップ2-1: \(\overline{S}\)の中への任意のコーシーシーケンス（列）\(f\)を取る; ステップ2-2: \(S\)の中への以下を満たすあるシーケンス（列）\(s\)、つまり、\(dist (s_j, f_j) \lt 2^{-j}\)、を取る; ステップ2-3: \(s\)のあるサブシーケンス（部分列）\(s^` = s \circ g\)で\(m \in \overline{S}\)へコンバージ（収束）するものがあり、\(f \circ g\)は\(m\)へコンバージ（収束）することを見る。
\(\overline{S}\)はコンプリート（完備）であることを見よう。
ステップ2-1:
\(f: \mathbb{N} \to \overline{S}\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
ステップ2-2:
以下を満たすあるシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to S\)、つまり、各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s_j, f_j) \lt 2^{-j}\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(f_j \in \overline{S}\)であるから、\(B_{f_j, 2^{-j}} \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ2-3:
2)によって、\(s\)のあるサブシーケンス（部分列）\(s^`: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \to S = s \circ g\)で\(m \in \overline{S}\)へコンバージ（収束）するものがある。
\(f \circ g\)は\(m\)へコンバージ（収束）することを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(2^{- g (n)} \lt \epsilon / 2\)、がある。
以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (m, s_{g (n)}) \lt \epsilon / 2\)、がある、なぜなら、\(s^`\)は\(m\)へコンバージ（収束）する。
すると、以下を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(Max (\{N_1, N_2\}) \lt n\)、に対して、\(dist (m, f_{g (n)}) \le dist (m, s_{g (n)}) + dist (s_{g (n)}, f_{g (n)}) \lt \epsilon / 2 + 2^{- g (n)} \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
したがって、\(f \circ g\)は\(m\)へコンバージ（収束）する。
任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題によって、\(f\)は\(m\)へコンバージ（収束）する。
したがって、\(\overline{S}\)はコンプリート（完備）である。
ステップ3:
\(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であることを見よう。
\(r \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt r\)を満たす任意のものとしよう。
\(S\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{s_1, ..., s_{n_r}\} \subseteq S\)で\(S \subseteq \cup_{j \in \{1, ..., n_r\}} B'_{s_j, r}\)、ここで、\(B'_{s_j, r}\)は\(s_j\)周りの半径\(r\)のクローズドボール（閉球）、を満たすものは無かったと仮定しよう。
\(S\)はあるインフィニット（無限）セット（集合）であることになる、なぜなら、そうでなければ、\(S\)を当該サブセット（部分集合）として取れば、\(S\)をカバーすることになる。
任意の\(s_0 \in S\)を取ろう。
任意の\(s_1 \in S \setminus B'_{s_0, r}\)を取ろう、それは可能であることになる、なぜなら、\(B'_{s_0, r}\)は\(S\)をカバーしなかった。
帰納的に、\(\{s_0, ..., s_{n - 1}\}\)を持っていた時、ある\(s_n \in S \setminus \cup_{j \in \{0, ..., n - 1\}} B'_{s_j, r}\)があることになる、なぜなら、\(\{B'_{s_j, r} \vert j \in \{0, ..., n - 1\}\}\)は\(S\)をカバーしなかった。
したがって、\(S\)の中へのあるインフィニット（無限）シーケンス（列）\((s_0, s_1, ...)\)を得ることになる。
しかし、そのシーケンス（列）はコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）は持たないことになる、なぜなら、各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(l \lt j\)を満たす各\(l \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \lt dist (s_l, s_j)\)、なぜなら、\(s_j \notin B'_{s_l, r}\)、それが意味することになるのは、\(j \neq l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \lt dist (s_l, s_j)\)、なぜなら、\(s_j \lt s_l\)であろうが\(s_l \lt s_j\)であろうが、\(r \lt dist (s_l, s_j) = dist (s_j, s_l)\)、したがって、任意のサブシーケンス（部分列）はコーシーでないことになり、コンバージェント（収束する）でないことになる、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であり、コーシー\(\epsilon\)コンディションに対する\(N\)はコンバージェンス（収束）\(\epsilon / 2\)コンディションに対する\(N\)に選べるという命題によって。
それは、2)に反する矛盾になる。
したがって、各\(r\)に対して、\(S\)の以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{s_1, ..., s_{n_r}\} \subseteq S\)、つまり、\(S \subseteq \cup_{j \in \{1, ..., n_r\}} B'_{s_j, r}\)、がある。
したがって、\(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である: クローズドボール（閉球）たちをオープンボール（開球）たちの代わりに使うことについてのメトリックスペース（計量付き空間）のトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）の定義に対する"注"を参照のこと。
\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）が、中心たちを当該サブセット（部分集合）内にして、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ4:
3)であると仮定しよう。
ステップ5:
1)が成立することを見よう。
\(\{U_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のインデックスセット（集合）、を\(\overline{S}\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
ファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）は無かったと仮定しよう。
3)によって、各\(l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、以下を満たすある\(\{s_{l, 1}, ..., s_{l, n_l}\} \subseteq S\)、つまり、\(\{B_{s_{l, j}, 2^{- l}} \vert j \in \{1, ..., n_l\}\}\)は\(\overline{S}\)をカバーする、があることになる、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）が、中心たちを当該サブセット（部分集合）内にして、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、特に、以下を満たすある\(\{s_{1, 1}, ..., s_{1, n_1}\} \subseteq S\)、つまり、\(\{B_{s_{1, j}, 2^{- 1}} \vert j \in \{1, ..., n_1\}\}\)は\(\overline{S}\)をカバーした、があることになる。
以下を満たすある\(B_{s_{1, j}, 2^{- 1}}\)、つまり、\(B_{s_{1, j}, 2^{- 1}} \cap \overline{S}\)はいかなるファイナイト（有限）数\(U_j\)たちにもカバーされていなかった、があることになる、なぜなら、そうでなければ、\(\overline{S} = (\cup_{j \in \{1, ..., n_1\}} B_{s_{1, j}, 2^{- 1}}) \cap \overline{S} = \cup_{j \in \{1, ..., n_1\}} (B_{s_{1, j}, 2^{- 1}} \cap \overline{S})\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、であるところ、\(\overline{S}\)は何らかファイナイト（有限）数\(U_j\)たちによってカバーされることになる、矛盾、そして、\(p_1 := s_{1, j}\)としよう。
以下を満たすある\(B_{s_{n - 1, j}, 2^{- (n - 1)}}\)、つまり、\(B_{s_{n - 1, j}, 2^{- (n - 1)}} \cap \overline{S}\)はいかなるファイナイト（有限）数\(U_j\)たちによってもカバーされていなかった、があったと仮定しよう、\(p_{n - 1} := s_{n - 1, j}\)として。
すると、何らかのファイナイト（有限）数\(B_{s_{n, j}, 2^{- n}}\)たちで\(B_{p_{n - 1}, 2^{- (n - 1)}} \cap \overline{S}\)に交わったものがあることになる、なぜなら、そうでなければ、\(\{B_{s_{n, j}, 2^{- n}}\}\)は\(\overline{S}\)をカバーしないことになる、一方、それらの中に以下を満たすある\(B_{s_{n, j}, 2^{- n}}\)、つまり、\(B_{s_{n, j}, 2^{- n}} \cap \overline{S}\)はいかなるファイナイト（有限）数\(U_j\)たちによってもカバーされていなかった、があることになる、なぜなら、そうでなければ、\(B_{p_{n - 1}, 2^{- (n - 1)}} \cap \overline{S}\)は何らかファイナイト（有限）数\(U_j\)たちによってカバーされたことになる、そして、\(p_n := s_{n, j}\)としよう。
そのように、帰納的に、以下を満たすあるシーケンス（列）\((p_1, p_2, ...)\)、つまり、\(B_{p_n, 2^{- n}} \cap \overline{S}\)はいかなるファイナイト（有限）数\(U_j\)たちによってもカバーされていなかったおよび\(B_{p_{n - 1}, 2^{- (n - 1)}} \cap B_{p_n, 2^{- n}} \cap \overline{S} \neq \emptyset\)、を得た。
\(dist (p_{n - 1}, p_n) \lt 2^{- (n - 2)}\)、なぜなら、\(B_{p_{n - 1}, 2^{- (n - 1)}} \cap B_{p_n, 2^{- n}} \neq \emptyset\)、それが意味することになるのは、ある\(p \in B_{p_{n - 1}, 2^{- (n - 1)}} \cap B_{p_n, 2^{- n}}\)があったということ、そして、\(dist (p_{n - 1}, p_n) \le dist (p_{n - 1}, p) + dist (p, p_n) \lt 2^{- (n - 1)} + 2^{- n} \lt 2^{- (n - 1)} + 2^{- (n - 1)} = 2^{- (n - 2)}\)。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意ものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(2^{- (N - 2)} \lt \epsilon\)、があることになる。
以下を満たす各\(a, b \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt a, b\)および\(a \lt b\)に対して、\(dist (p_a, p_b) \le dist (p_a, p_{a + 1}) + ... + dist (p_{b - 1}, p_b) \lt 2^{- (a - 1)} + ... + 2^{- (b - 2)} \lt 2^{- (a - 1)} + 2^{- a} + ... = 2^{- (a - 1)} (1 + 1 / 2 + (1 / 2)^2 + ...) = 2^{- (a - 1)} 1 / (1 - 1 / 2) = 2^{- (a - 2)} \lt 2^{- (N - 2)} \lt \epsilon\)。
したがって、\((p_1, p_2, ...)\)は\(S\)の中へのあるコーシーシーケンス（列）、したがって、\(\overline{S}\)の中へのあるコーシーシーケンス（列）であることになる。
3)によって、\(\overline{S}\)はコンプリート（完備）であることになる、したがって、当該シーケンス（列）はある\(m \in \overline{S}\)へコンバージ（収束）することになる。
\(m \in U_j\)、ある\(j\)に対して、なぜなら、\(\{U_j\}\)は\(\overline{S}\)をカバーした。
以下を満たすある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt r\)および\(B_{m, r} \subseteq U_j\)、があることになる、なぜなら、\(U_j\)は\(m\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であった。
\((p_1, p_2, ...)\)は\(m\)へコンバージ（収束）したから、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(dist (m, p_n) \lt r / 2\)および\(2^{- n} \lt r / 2\)、があることになる。
すると、\(B_{p_n, 2^{- n}} \subseteq B_{m, r}\)、なぜなら、各\(p \in B_{p_n, 2^{- n}}\)に対して、\(dist (m, p) \le dist (m, p_n) + dist (p_n, p) \lt r / 2 + 2^{- n} \lt r / 2 + r / 2 = r\)。
したがって、\(B_{p_n, 2^{- n}} \subseteq B_{m, r} \subseteq U_j\)、\(B_{p_n, 2^{- n}} \cap \overline{S}\)はいかなるファイナイト（有限）数\(U_j\)たちによってもカバーされていなかったことに反する矛盾。
したがって、\(\{U_j \vert j \in J\}\)はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持つ。
したがって、\(\overline{S}\)はコンパクトである。
ステップ6:
1)を仮定しよう。
ステップ7:
2)が成立することを見よう。
\(\overline{S}\)はあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(\overline{S}\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである、なぜなら、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、明らかに。
\(s\)を\(S\)の中への任意のシーケンス（列）としよう。
\(s\)は、\(\overline{S}\)の中へのあるシーケンス（列）である。
\(s\)のあるサブシーケンス（部分列）である\(m \in \overline{S}\)へコンバージ（収束）するものがある、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題および任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題によって。
それが意味するのは、2)は成立するということ。
