メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）に対して、当該プロダクトメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、当該構成要素メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）がインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間で当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリック（計量）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、任意のメトリック\(dist\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(dist \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）メトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
勿論、本命題は、あるメトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）として直接に証明できるはずである、しかし、私たちは、既にインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）としてのコンティニュアス（連続）性を持っているので、それを使う。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(dist\)は、インデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(dist: M \times M \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、\(M \times M\)を、\(M\)に対する\(dist\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーのプロダクトとしてのトポロジーを持つトポロジカルスペース（空間）とみなして、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題によって。
ステップ2:
当該プロダクトトポロジーは、当該プロダクトメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーである、任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）に対して、当該プロダクトメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、当該構成要素メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーであるという命題によって。
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}\)は、当該ユークリディアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つ、定義によって。
したがって、当該メトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）としての\(dist\)はコンティニュアス（連続）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たちマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）がインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間で当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
