インターバル（区間）でクローズドエンド（閉端）を持つものからのコンティニュアス（連続）リアルマップ（実写像）に対して、もしも、インテリア（内部）のイメージ（像）がバウンデッド（有界）である場合、レンジ（値域）は対応して等しいかより小さいかより大きいバウンデッド（有界）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の非1ポイントインターバル（区間）で任意のクローズドエンド（閉端）を持つものからの任意のコンティニュアス（連続）リアルマップ（実写像）に対して、もしも、当該インテリア（内部）のイメージ（像）がバウンデッド（有界）である場合、当該レンジ（値域）は対応して等しいかより小さいかより大きいバウンデッド（有界）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(J\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の非1ポイントインターバル（区間）たち }\}\)で、任意のクローズドエンド（閉端）を持つもの
\(f\): \(: J \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(Int (J)\):
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall j \in Int (J) (r \le f (j))\)
\(\implies\)
\(\forall j \in J (r \le f (j))\)
)
\(\land\)
(
\(\forall j \in Int (J) (f (j) \le r)\)
\(\implies\)
\(\forall j \in J (f (j) \le r)\)
)
//
2: 注
任意の非1ポイントインターバル（区間）で任意のクローズドエンド（閉端）を持つものは、\([r_1, r_2)\)、\([r_1, \infty)\)、\([r_1, r_2]\)、\((r_1, r_2]\)、\((- \infty, r_2]\)、ここで、\(r_1 \lt r_2\)、のいずれかであり、対応するインテリア（内部）は\((r_1, r_2)\)、\((r_1, \infty)\)、\((r_1, r_2)\)、\((r_1, r_2)\)、\((- \infty, r_2)\)である: \(r_1 = r_2\)というケースは考慮されない、なぜなら、\(Int (J)\)は空となり、当該コンディションたちは空虚になる。
\(\forall j \in Int (J) (r \lt f (j))\)は、\(\forall j \in Int (J) (r \le f (j))\)を含意する、したがって、それは、\(\forall j \in J (r \le f (j))\)を保証する、しかし、それは、\(\forall j \in J (r \lt f (j))\)を保証しない: 例えば、\(f: [0, 1) \to \mathbb{R}, r \mapsto r\)に対して、\(\forall j \in Int (J) (0 \lt f (j))\)、しかし、\(f (0) = 0\)。
同様に、\(\forall j \in Int (J) (f (j) \lt r)\)は、\(\forall j \in J (f (j) \le r)\)を保証するが、\(\forall j \in J (f (j) \lt r)\)を保証しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\forall j \in Int (J) (r \le f (j))\)であると仮定する; ステップ2: \(\forall j \in J (r \le f (j))\)であることを見る; ステップ3: \(\forall j \in Int (J) (f (j) \le r)\)であると仮定する; ステップ4: \(\forall j \in J (f (j) \le r)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\forall j \in Int (J) (r \le f (j))\)であると仮定しよう。
ステップ2:
ローワーエンド（下端）\(r_1\)がクローズド（閉）であると仮定しよう。
\(f (r_1) \lt r\)であったと仮定しよう。
\(B_{f (r_1), (r - f (r_1)) / 2} \subseteq \mathbb{R}\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であったから、\(r_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{r_1} \subseteq J\)、つまり、\(f (U_{r_1}) \subseteq B_{f (r_1), (r - f (r_1)) / 2}\)、があることになる。
\(U_{r_1} = U'_{r_1} \cap J\)、\(r_1\)の\(\mathbb{R}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{r_1} \subseteq \mathbb{R}\)に対して、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
以下を満たすある\(B_{r_1, \delta} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{r_1, \delta} \subseteq U'_{r_1}\)、があることになる、ユークリディアントポロジーの定義によって。
\(\delta\)を、\(r_1 + \delta / 2 \in Int (J)\)を満たすよう十分小さくしよう、それは可能だということになる、なぜなら、\(J\)は非1ポイントインターバル（区間）であった。
\(B_{r_1, \delta} \cap J \subseteq U'_{r_1} \cap J = U_{r_1}\)。
したがって、\(f (B_{r_1, \delta} \cap J) \subseteq B_{f (r_1), (r - f (r_1)) / 2}\)。
\(r_1 + \delta / 2 \in B_{r_1, \delta} \cap J\)、そして、\(f (r_1 + \delta / 2) \in B_{f (r_1), (r - f (r_1)) / 2}\)。
したがって、\(f (r_1 + \delta / 2) \lt f (r_1) + (r - f (r_1)) / 2 = (f (r_1) + r) / 2\)。
しかし、\(f (r_1) \lt r\)であるから、\(f (r_1) + r \lt 2 r\)、そして、\((f (r_1) + r) / 2 \lt r\)。
したがって、\(f (r_1 + \delta / 2) \lt r\)、\(\forall j \in Int (J) (r \le f (j))\)に反する矛盾。
したがって、\(r \le f (r_1)\)。
アッパーエンド（上端）\(r_2\)がクローズド（閉）であると仮定しよう。
\(f (r_2) \lt r\)であったと仮定しよう。
\(B_{f (r_2), (r - f (r_2)) / 2} \subseteq \mathbb{R}\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であったから、\(r_2\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{r_2} \subseteq J\)、つまり、\(f (U_{r_2}) \subseteq B_{f (r_2), (r - f (r_2)) / 2}\)、があることになる。
\(U_{r_2} = U'_{r_2} \cap J\)、\(r_2\)の\(\mathbb{R}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{r_2} \subseteq \mathbb{R}\)に対して、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
以下を満たすある\(B_{r_2, \delta} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{r_2, \delta} \subseteq U'_{r_2}\)、があることになる、ユークリディアントポロジーの定義によって。
\(\delta\)を、\(r_2 - \delta / 2 \in Int (J)\)を満たすよう十分小さくしよう、それは可能だということになる、なぜなら、\(J\)は非1ポイントインターバル（区間）であった。
\(B_{r_2, \delta} \cap J \subseteq U'_{r_2} \cap J = U_{r_2}\)。
したがって、\(f (B_{r_2, \delta} \cap J) \subseteq B_{f (r_2), (r - f (r_2)) / 2}\)。
\(r_2 - \delta / 2 \in B_{r_2, \delta} \cap J\)、そして、\(f (r_2 - \delta / 2) \in B_{f (r_2), (r - f (r_2)) / 2}\)。
したがって、\(f (r_2 - \delta / 2) \lt f (r_2) + (r - f (r_2)) / 2 = (f (r_2) + r) / 2\)。
しかし、\(f (r_2) \lt r\)であるから、\(f (r_2) + r \lt 2 r\)、そして、\((f (r_2) + r) / 2 \lt r\)。
したがって、\(f (r_2 - \delta / 2) \lt r\)、\(\forall j \in Int (J) (r \le f (j))\)に反する矛盾。
したがって、\(r \le f (r_2)\)。
したがって、\(J \setminus Int (j)\)は\(r_1\)または\(r_2\)のみを包含するから、\(\forall j \in J (r \le f (j))\)。
ステップ3:
\(\forall j \in Int (J) (f (j) \le r)\)であると仮定しよう。
ステップ4:
ローワーエンド（下端）\(r_1\)がクローズド（閉）であると仮定しよう。
\(r \lt f (r_1)\)であったと仮定しよう。
\(B_{f (r_1), (f (r_1) - r) / 2} \subseteq \mathbb{R}\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であったから、\(r_1\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{r_1, \delta} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(f (B_{r_1, \delta} \cap J) \subseteq B_{f (r_1), (f (r_1) - r) / 2}\)および\(r_1 + \delta / 2 \in Int (J)\)があることになる、前と同様。
\(r_1 + \delta / 2 \in B_{r_1, \delta} \cap J\)、そして、\(f (r_1 + \delta / 2) \in B_{f (r_1), (f (r_1) - r) / 2}\)。
したがって、\((f (r_1) + r) / 2 = f (r_1) - (f (r_1) - r) / 2 \lt f (r_1 + \delta / 2)\)。
しかし、\(r \lt f (r_1)\)であるから、\(2 r \lt f (r_1) + r\)、そして、\(r \lt (f (r_1) + r) / 2\)。
したがって、\(r \lt f (r_1 + \delta / 2)\)、\(\forall j \in Int (J) (f (j) \le r)\)に反する矛盾。
したがって、\(f (r_1) \le r\)。
アッパーエンド（上端）\(r_2\)がクローズド（閉）であると仮定しよう。
\(r \lt f (r_2)\)であったと仮定しよう。
\(B_{f (r_2), (f (r_2) - r) / 2} \subseteq \mathbb{R}\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であったから、\(r_2\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{r_2, \delta} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(f (B_{r_2, \delta} \cap J) \subseteq B_{f (r_2), (f (r_2) - r) / 2}\)および\(r_2 - \delta / 2 \in Int (J)\)、があることになる、前と同様。
\(r_2 - \delta / 2 \in B_{r_2, \delta} \cap J\)、そして、\(f (r_2 - \delta / 2) \in B_{f (r_2), (f (r_2) - r) / 2}\)。
したがって、\((f (r_2) + r) / 2 = f (r_2) - (f (r_2) - r) / 2 \lt f (r_2 - \delta / 2)\)。
しかし、\(r \lt f (r_2)\)であるから、\(2 r \lt f (r_2) + r\)、そして、\(r \lt (f (r_2) + r) / 2\)。
したがって、\(r \lt f (r_2 - \delta / 2)\)、\(\forall j \in Int (J) (f (j) \le r)\)に反する矛盾。
したがって、\(f (r_2) \le r\)。
したがって、\(J \setminus Int (j)\)は\(r_1\)または\(r_2\)のみを包含するから、\(\forall j \in J (f (j) \le r)\)。
