メトリックスペース（計量付き空間）はファーストカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(M \in \{\text{ 全てのファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M\)に対して、\(B_m := \{B_{m, q} \subseteq M \vert q \in \mathbb{Q} \land 0 \lt q\}\)を取り、\(B_m\)は\(m\)におけるあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
\(m \in M\)を任意ものとしよう。
\(B_m := \{B_{m, q} \subseteq M \vert q \in \mathbb{Q} \land 0 \lt q\}\)を取ろう。
\(B_{m, q}\)は\(m\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"によって。
\(m\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M\)に対して、\(m\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{m, \epsilon} \subseteq M\)、つまり、\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)、がある、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
すると、以下を満たすある\(q \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(0 \lt q \lt \epsilon\)、があり、\(m \in B_{m, q} \subseteq B_{m, \epsilon} \subseteq M\)。
したがって、\(B_m\)は\(m\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である。
\(B_m\)はカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(\mathbb{Q}\)はカウンタブル（可算）である。
したがって、\(B_m\)は、\(m\)におけるあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である。
各ポイントにおいてあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）があるから、\(M\)はファーストカウンタブル（可算）である。
