コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(C\): \(\in \{T \text{ のコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J'\}\)を取り、\(T\)のオープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J'\} \cup \{T \setminus C\}\)を取り、\(T\)の当該カバー（被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_j \vert j \in J\} \cup \{T \setminus C\}\)を取り、\(\{U_j \vert j \in J\}\)は\(C\)の当該カバー（被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）であることを見る。
ステップ1:
\(\{U_j \vert j \in J'\}\)を\(C\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう、ここで、\(J'\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）。
\(\{U_j \vert j \in J'\} \cup \{T \setminus C\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(T\)はコンパクトであるから、\(T\)の当該カバー（被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_j \vert j \in J\} \cup \{T \setminus C\}\)、ここで、\(J \subseteq J'\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある: \(T \setminus C\)は必要でないかもしれないが、いずれにせよそれを持つことができる、なぜなら、それは何の害も起こさない: それはいずれにせよあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である。
すると、\(\{U_j \vert j \in J\}\)は\(C\)の当該カバー（被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \in U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、なぜなら、\(c \notin T \setminus C\)、したがって、\(C \subseteq \{U_j \vert j \in J\}\)。
したがって、\(C\)はコンパクトである。
