ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(K\): \(\in \{T \text{ のコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(K\): \(\in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T \setminus K\)がオープン（開）であることを見る、各\(t \in T \setminus K\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \subseteq T \setminus K\)、を取ることによって。
ステップ1:
\(T \setminus K\)はオープン（開）であることを見よう。
\(t \in T \setminus K\)を任意のものとしよう。
各\(k \in K\)に対して、\(t \neq k\)であるから、以下を満たす、\(k\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_k \subseteq T\)および\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, k} \subseteq T\)、つまり、\(U_k \cap U_{t, k} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(T\)はハウスドルフである。
\(K \subseteq \cup_{k \in K} U_k\)、それが意味するのは、\(\{U_k \vert k \in K\}\)は\(K\)のあるオープンカバー（開被覆）であること。
以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{k_j \in K \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、つまり、\(K \subseteq \cup_{j \in J} U_{k_j}\)、がある、なぜなら、\(K\)はコンパクトである。
\(U_t := \cap_{j \in J} U_{t, k_j} \subseteq T\)としよう、それは、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_t \cap \cup_{j \in J} U_{k_j} = \emptyset\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(U_t \cap U_{k_j} \subseteq U_{t, k_j} \cap U_{k_j} = \emptyset\)。
したがって、\(U_t \cap K \subseteq U_t \cap \cup_{j \in J} U_{k_j} = \emptyset\)。
したがって、\(U_t \subseteq T \setminus K\)。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(T \setminus K \subseteq T\)はオープン（開）であり、\(K\)はクローズド（閉）である。
