\(C^\infty\)イマージョンはローカルに\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)イマージョンの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はある要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、何らかのコンポーネントたちを選ぶことによって、という命題を認めている。
- 読者は、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)イマージョンはローカルにある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M_1 (\exists U_m \in \{m \text{ の } M_1 \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (f \vert_{U_m}: U_m \to M_2 \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (m)\)周りの任意のチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)および\(m\)周りの以下を満たす任意のチャート（\(m\)が任意のインテリア（内部）ポイントである時はインテリア（内部）で\(m\)が任意のバウンダリー（境界）ポイントである時はバウンダリー（境界））\((U'_m \subseteq M_1, \phi'_m)\)、つまり、\(f (U'_m) \subseteq U_{f (m)}\)、を取る; ステップ2: \(f': U'_{\phi'_m (m)} \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_2}\)、ここで、\(m\)が任意のインテリア（内部）ポイントである時は\(f' := \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1}\)で\(m\)が任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は\(f' \vert_{U'_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)} = \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{U'_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)}\)、を取り、以下を満たすあるプロジェクション（射影）\(\pi: \mathbb{R}^{d_2} \to \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(d (\pi \circ f'): \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_1}\)はランク\(d_1\)である、を取る; ステップ3: ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理を適用して、あるディフェオモーフィズム\(f'' := \pi \circ f' \vert_{U_{\phi'_m (m)}}: U_{\phi'_m (m)} \to U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))}\)を得る; ステップ4: \(U_m := {\phi'_m}^{-1} (U_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m))\)を取り、\(f''' := f \vert_{U_m}: U_m \to f (U_m)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f (m)\)周りの任意のチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)を取ろう。
\(m\)周りの以下を満たす任意のチャート\((U'_m \subseteq M_1, \phi'_m)\)、つまり、\(f (U'_m) \subseteq U_{f (m)}\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である: \(m\)が\(M_1\)の任意のインテリア（内部）ポイントである時は、当該チャートはあるインテリア（チャート）としよう; \(m\)が\(M_1\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、当該チャートは不可避にあるバウンダリー（境界）である。
ステップ2:
\(m\)が\(M_1\)の任意のインテリア（内部）ポイントである時は、\(U'_{\phi'_m (m)} := \phi'_m (U'_m)\)、それは、\(\phi'_m (m)\)の\(\mathbb{R}^{d_1}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、および\(f': U'_{\phi'_m (m)} \to \mathbb{R}^{d_2} = \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1}\)としよう。
\(m\)が\(M_1\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、以下を満たすある\(C^\infty\) \(f': U'_{\phi'_m (m)} \to \mathbb{R}^{d_2}\)、つまり、\(f' \vert_{U'_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)} = \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{U'_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)}\)、がある、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって。
いずれにせよ、\(f'\)にディファレンシャル\(d f': \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_2}\)は\(\phi'_m (m)\)においてあるインジェクション（単射）である: \(m\)が\(M_1\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、\(f'\)のヤコビアン\((\partial_l f'^j)\)、それが\(d f'\)のコンポーネントたちファンクション（関数）を決定する、は、\(f'\)の選択に依存しない、なぜなら、\(\partial_{d_1} f'^j\)は、片方\(\partial_{d_1} (\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1})\)に等しく、当該ヤコビアンはランク\(d_1\)である。
したがって、以下を満たすあるプロジェクション（射影）\(\pi: \mathbb{R}^{d_2} \to \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(\pi \circ f': U'_{\phi'_m (m)} \to \mathbb{R}^{d_1}\)のディファレンシャル\(d (\pi \circ f'): \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_1}\)は\(\phi'_m (m)\)においてランク\(d_1\)である: \(d f'\)がランク\(d_1\)を持っているということは、\(d f' (\mathbb{R}^{d_1})\)は\(\mathbb{R}^{d_2}\)のある\(d_1\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを意味する、したがって、当該サブスペース（部分空間）に対するあるベーシス（基底）があり、あるプロジェクション（射影）\(\pi: \mathbb{R}^{d_2} \to \mathbb{R}^{d_1}\)でその下で当該ベーシス（基底）のイメージ（像）がリニアにインディペンデント（線形独立）であるものがある、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はある要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、何らかのコンポーネントたちを選ぶことによって、という命題によって（任意のプロジェクション（射影）はいくつかのコンポーネントたちを選ぶことに他ならない）、そして、\(\pi \circ d f': \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_1}\)はランク\(d_1\)である、なぜなら、そのレンジ（値域）は当該ベーシス（基底）のプロジェクション（射影）のリニアコンビネーション（線形結合）である、すると、\(d (\pi \circ f') = d \pi \circ d f' = \pi \circ d f'\)、なぜなら、\(d \pi = \pi\): \(\pi: (r^1, ..., r^{d_2})^t \mapsto (r^{j_1}, ..., r^{j_{d_1}})^t = (M^{j_1}_l r^l, ..., M^{j_{d_1}}_l r^l)^t\)、ここで、\(M\)は以下を満たす\(d_1 \times d_2\)マトリックス（行列）、つまり、\(M^m_l\)は、\(\mathbb{R}^{d_2}\)の\(l\)-番目コンポーネントが\(\mathbb{R}^{d_1}\)の\(m\)-番目コンポーネントへ射影される時は\(1\)であり、そうでなければ\(0\)、であるところ、\(\partial_n \pi^m = \partial_n M^{j_m}_l r^l = M^{j_m}_n\)、したがって、\(d \pi: (r^1, ..., r^{d_2})^t \mapsto (M^{j_1}_l r^l, ..., M^{j_{d_1}}_l r^l)^t\): 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を参照のこと。
ステップ3:
したがって、\(\pi \circ f'\)は\(\mathbb{R}^{d_1}\)のあるオープンサブセット（開部分集合）\(U'_{\phi'_m (m)}\)から\(\mathbb{R}^{d_1}\)の中へのある\(C^\infty\)マップ（写像）でそのヤコビアンが非特異であるものである、したがって、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理によって、以下を満たす、\(\phi'_m (m)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\phi'_m (m)} \subseteq U'_{\phi'_m (m)}\)および\(\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(f'' := \pi \circ f' \vert_{U_{\phi'_m (m)}}: U_{\phi'_m (m)} \to U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))}\)はあるバイジェクション（全単射）で\(C^\infty\)インバース（逆）\(f''^{-1}: U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))} \to U_{\phi'_m (m)}\)を持つ。
ステップ4:
\(U_m := {\phi'_m}^{-1} (U_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)) \subseteq U'_m\)を取ろう、それは、\(m\)の\(U'_m\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(M_1\)上でもそうである、なぜなら、\(U_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)\)は\(\phi'_m (m)\)の\(\phi'_m (U'_m)\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である: \(m\)が任意のバウンダリー（境界）ポイントである時は、\(\phi'_m (U'_m) \subseteq \mathbb{H}^{d_1}\)は\(\mathbb{H}^{d_1}\)のあるサブスペース（部分空間）であり、\(U_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m) = U_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m) \cap \mathbb{H}^{d_1} = (U_{\phi'_m (m)} \cap \mathbb{H}^{d_1}) \cap \phi'_m (U'_m)\)、ここで、\(U_{\phi'_m (m)} \cap \mathbb{H}^{d_1}\)は\(\mathbb{H}^{d_1}\)のあるオープンサブセット（開部分集合）である。
\(f''' := f \vert_{U_m}: U_m \to f (U_m)\)を取ろう。
\(f'''\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、そうでなければ、\(f''\)はインジェクティブ（単射）でないことになる: 各\(p \in U_m\)に対して、\(\phi'_m (p) \in \phi'_m (U'_m)\)、したがって、\(f'' \vert_{\phi'_m (U_m)} = \pi \circ f' \vert_{\phi'_m (U_m)} = \pi \circ \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m)} = \pi \circ \phi_{f (m)} \circ f \vert_{U_m} \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m)} = \pi \circ \phi_{f (m)} \circ f''' \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m)}\)。
したがって、\(f'''\)はバイジェクティブ（全単射）である。
\(f'''^{-1}: f (U_m) \to U_m = {\phi'_m}^{-1} \circ f''^{-1} \circ \pi \circ \phi_{f (m)} \vert_{f (U_m)}\)、それは、妥当であり真である、なぜなら、各\(f (p) \in f (U_m)\)に対して、\(\pi \circ \phi_{f (m)} (f (p)) = \pi \circ \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi'_m}^{-1} \circ \phi'_m (p)\)、しかし、\(\phi'_m (p) \in U_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m) \subseteq U'_{\phi'_m (m)} \cap \phi'_m (U'_m)\)であるから、\(= \pi \circ f' \circ \phi'_m (p) = f'' \circ \phi'_m (p)\)、そして、\({\phi'_m}^{-1} \circ f''^{-1} \circ \pi \circ \phi_{f (m)} \vert_{f (U_m)} = {\phi'_m}^{-1} \circ f''^{-1} \circ f'' \circ \phi'_m (p) = {\phi'_m}^{-1} \circ \phi'_m (p) = p\)。
\(f'''\)はコンティニュアス（連続）である、あるコンティニュアスマップ（連続写像）のあるリストリクション（制限）として。
\(f'''^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアスマップ（連続写像）たちのあるコンポジション（合成）として、なぜなら、\(\pi \circ \phi_{f (m)} \vert_{f (U_m)}: f (U_m) \subseteq M_2 \to U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）\(\pi \circ \phi_{f (m)}: U_{f (m)} \subseteq M_2 \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)}) \subseteq \mathbb{R}^{d_2} \to \mathbb{R}^{d_1}\)のあるリストリクション（制限）として、\(f''^{-1}: U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))} \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \to U_{\phi'_m (m)} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは\(C^\infty\)であり\(f''^{-1}: U_{\pi \circ \phi_{f (m)} (f (m))} \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \to \phi'_m (U_m) \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \text{ or } \mathbb{H}^{d_1}\)はコンティニュアス（連続）である、コドメイン（余域）リストリクション（制限）として（\(\phi'_m (U_m) \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \text{ or } \mathbb{H}^{d_1}\)は\(U_{\phi'_m (m)} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）である、なぜなら、\(\mathbb{H}^{d_1}\)は\(\mathbb{R}^{d_1}\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）であるから、\(\phi'_m (U_m)\)は\(\mathbb{R}^{d_1}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、いずれにせよ、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、そして、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題が再び、\(\phi'_m (U_m) \subseteq U_{\phi'_m (m)} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)に対して適用される）、そして、\({\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m)}: \phi'_m (U_m) \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \text{ or } \mathbb{H}^{d_1} \to U_m\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f'''\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ5:
\(f \vert_{U_m}: U_m \to M_2\)はある\(C^\infty\)イマージョンである、ここで、\(f''' := f \vert_{U_m}: U_m \to f (U_m)\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、\(f \vert_{U_m}\)はある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。
