メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものおよびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、サブセット（部分集合）上のコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）上のコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S} = \{S \text{ 上の全てのコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in \overline{S}\)に対して、\(S\)上のあるコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）でそのコンバージェンス（収束ポイント）が\(m\)であるものを取る; ステップ2: \(S\)上の各コンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）でそのコンバージェンス（収束ポイント）が\(m\)であるものに対して、\(m \in \overline{S}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(m \in \overline{S}\)を任意のものとしよう。
以下を満たす任意のポイントたちシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to S\)、つまり、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (n) \in B_{m, 1 / (n + 1)}\)を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(B_{m, 1 / (n + 1)} \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(s\)はあるコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）でそのコンバージェンス（収束ポイント）が\(m\)であるものである、なぜなら、各\(B_{m, \epsilon}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(1 / (N + 1) \lt \epsilon\)、があり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(1 / (n + 1) \lt 1 / (N + 1) \lt \epsilon\)、したがって、\(s (n) \in B_{m, 1 / (n + 1)} \subseteq B_{m, \epsilon}\)。
したがって、\(m \in \{S \text{ 上の全てのコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)である。
したがって、\(\overline{S} \subseteq \{S \text{ 上の全てのコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)。
ステップ2:
\(m \in \{S \text{ 上の全てのコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)を任意のものとしよう。
\(m\)は、あるコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to S\)のコンバージェンス（収束ポイント）である。
\(m \in S\)である時、\(m \in \overline{S}\)。
\(m \notin S\)である時、\(m\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M\)に対して、以下を満たすある\(B_{m, \epsilon} \subseteq M\)、つまり、\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)、があり、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(s (n) \in B_{m, \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）する、したがって、\(U_m \cap S \neq \emptyset\)、なぜなら、\(s (n) \in B_{m, \epsilon} \cap S \subseteq U_m \cap S\)、それが意味するのは、\(m\)は\(S\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）であるということ、したがって、\(m \in \overline{S}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、いずれにせよ、\(m \in \overline{S}\)。
したがって、\(\{S \text{ 上の全てのコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\} \subseteq \overline{S}\)。
ステップ3:
したがって、\(\overline{S} = \{S \text{ 上の全てのコンバージェント（収束する）ポイントたちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)。
