トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインテリア（内部）はサブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインテリア（内部）は当該サブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = \cap_{j \in J} Int (S_j)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題を適用して、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\forall j \in J (U_t \subseteq S_j))\}\)であることを見る; ステップ2: \(\{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\forall j \in J (U_t \subseteq S_j))\} = \cap_{j \in J} \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\}\)であることを見る。
ステップ1:
任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題によって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq \cap_{j \in J} S_j)\}\)。
しかし、\(U_t \subseteq \cap_{j \in J} S_j\)は\(\forall j \in J (U_t \subseteq S_j)\)に等しい。
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\forall j \in J (U_t \subseteq S_j))\}\)。
ステップ2:
\(\{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\forall j \in J (U_t \subseteq S_j))\} = \cap_{j \in J} \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\}\)であることを見よう。
当該左辺内の各\(t\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(t \in \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\}\)、したがって、\(t\)は当該右辺内にある。
当該右辺内の各\(t\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(t \in \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\}\)、したがって、そうしたある\(U_t\)を\(U_{t, j}\)と記そう、なぜなら、それは\(j\)に依存する、すると、\(\cap_{j \in J} U_{t, j}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(J\)はファイナイト（有限）である、各\(j \in J\)に対して、\(\cap_{j \in J} U_{t, j} \subseteq U_{t, j} \subseteq S_j\)、したがって、\(t\)は当該左辺内にある。
したがって、\(\{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\forall j \in J (U_t \subseteq S_j))\} = \cap_{j \in J} \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\} = \cap_{j \in J} Int (S_j)\)。
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = \cap_{j \in J} Int (S_j)\)。
