トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}} = \overline{\cup_{j \in J} S_j}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を適用する; ステップ1: \(\overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}} \subseteq \overline{\cup_{j \in J} S_j}\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{\cup_{j \in J} S_j} \subseteq \overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(p \in \overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}}\)を任意のものとしよう。
\(U_p \subseteq T\)を\(p\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(U_p \cap \cup_{j \in J} \overline{S_j} \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、ある\(j \in J\)に対して、\(U_p \cap \overline{S_j} \neq \emptyset\)。
しかし、それが意味するのは、\(U_p \cap S_j \neq \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(S_j \subseteq \overline{S_j} \cap (T \setminus U_p) \subset \overline{S_j}\)、なぜなら、\(S_j \subseteq T \setminus U_p\)、したがって、\(S_j \subseteq \overline{S_j} \cap (T \setminus U_p) \subseteq \overline{S_j}\)、しかし、\(U_p \cap \overline{S_j} \neq \emptyset\)であるから、\(T \setminus U_p\)には\(\overline{S_j}\)のあるポイントが欠けていた、したがって、\(\overline{S_j} \cap (T \setminus U_p) \subset \overline{S_j}\)、\(\overline{S_j}\)が\(S_j\)を包含した全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であったことに反する矛盾: \(\overline{S_j} \cap (T \setminus U_p)\)はクローズド（閉）であった。
したがって、\(U_p \cap \cup_{j \in J} S_j \neq \emptyset\)、したがって、\(p \in \overline{\cup_{j \in J} S_j}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(\overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}} \subseteq \overline{\cup_{j \in J} S_j}\)。
ステップ2:
\(\overline{\cup_{j \in J} S_j} \subseteq \overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}}\)、なぜなら、\(\cup_{j \in J} S_j \subseteq \cup_{j \in J} \overline{S_j}\): \(\cup_{j \in J} \overline{S_j}\)を包含する各クローズドサブセット（閉部分集合）は\(\cup_{j \in J} S_j\)を包含する。
ステップ3:
したがって、\(\overline{\cup_{j \in J} \overline{S_j}} = \overline{\cup_{j \in J} S_j}\)。
