トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインテリア（内部）はサブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのインターセクション（共通集合）のインテリア（内部）であり、サブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインテリア（内部）は当該サブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのインターセクション（共通集合）のインテリア（内部）であり、当該サブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = Int (\cap_{j \in J} Int (S_j)) \subseteq \cap_{j \in J} Int (S_j)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq Int (\cap_{j \in J} Int (S_j))\)であることを見る; ステップ2: \(Int (\cap_{j \in J} Int (S_j)) \subseteq Int (\cap_{j \in J} S_j)\)であることを見る; ステップ3: \(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} Int (S_j)\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} S_j\)。
したがって、各\(j \in J\)に対して、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} S_j \subseteq S_j\)。
したがって、各\(j \in J\)に対して、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq Int (S_j)\)、なぜなら、\(Int (\cap_{j \in J} S_j)\)は\(S_j\)内に包含されるあるオープンサブセット（開部分集合）である、その一方、\(Int (S_j)\)は\(S_j\)内に包含される全てのオープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）である。
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} Int (S_j)\)。
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq Int (\cap_{j \in J} Int (S_j))\)、前と同様。
ステップ2:
\(Int (\cap_{j \in J} Int (S_j)) \subseteq \cap_{j \in J} Int (S_j) \subseteq \cap_{j \in J} S_j\)。
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} Int (S_j)) \subseteq Int (\cap_{j \in J} S_j)\)。
ステップ3:
\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq \cap_{j \in J} S_j)\}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題によって。
しかし、\(U_t \subseteq \cap_{j \in J} S_j\)は、各\(j \in J\)に対して、\(U_t \subseteq S_j\)であることに等しい。
したがって、各\(t \in Int (\cap_{j \in J} S_j)\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(t \in \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\} = Int (S_j)\)。
したがって、\(t \in \cap_{j \in J} Int (S_j)\)。
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} Int (S_j)\)。
ステップ4:
したがって、\(Int (\cap_{j \in J} S_j) = Int (\cap_{j \in J} Int (S_j)) \subseteq \cap_{j \in J} Int (S_j)\)。
