トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のインテリア（内部）内に包含されることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およ、任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのインテリア（内部）たちのユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のインテリア（内部）内に包含されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup_{j \in J} Int (S_j) \subseteq Int (\cup_{j \in J} S_j)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題を適用して、\(\cup_{j \in J} Int (S_j) \subseteq Int (\cup_{j \in J} S_j)\)であることを見る。
ステップ1:
\(t \in \cup_{j \in J} Int (S_j)\)を任意のものとしよう。
\(t \in Int (S_j)\)、ある\(j \in J\)に対して。
任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題によって、\(t \in Int (S_j) = \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S_j)\}\)。
したがって、\(U_t \subseteq S_j\)。
したがって、\(U_t \subseteq \cup_{j \in J} S_j\)。
それが意味するのは、\(t \in Int (\cup_{j \in J} S_j)\)、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題によって。
したがって、\(\cup_{j \in J} Int (S_j) \subseteq Int (\cup_{j \in J} S_j)\)。
