トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、スペース（空間）は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）、サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）のディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）であり、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該スペース（空間）は、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）、当該サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）のディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{Int (S), Bou (S), T \setminus \overline{S}\} \in \{\text{ 全ての、サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）セット（集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(T = Int (S) \cup Bou (S) \cup (T \setminus \overline{S})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\{Int (S), Bou (S), T \setminus \overline{S}\}\)はディスジョイント（互いに素）であることを見る; ステップ2: 各\(t \in T\)に対して、\(t \in Int (S) \cup Bou (S) \cup (T \setminus \overline{S})\)であることを見る。
ステップ1:
\(\{Int (S), Bou (S), T \setminus \overline{S}\}\)はディスジョイント（互いに素）であることを見よう。
\(t \in Int (S)\)を任意のものとしよう。
\(Int (S) = T \setminus \overline{T \setminus S}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）であり、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）であるという命題によって。
したがって、\(t \notin \overline{T \setminus S}\)、したがって、\(t \notin \overline{S} \cap \overline{T \setminus S} = Bou (S)\)。
\(Int (S) \subseteq S \subseteq \overline{S}\)であるから、\(t \notin T \setminus \overline{S}\)。
したがって、\(Int (S)\)は、\(Bou (S)\)とおよび\(T \setminus \overline{S}\)とディスジョイント（互いに素）である。
既に、\(Bou (S)\)が\(Int (S)\)とディスジョイント（互いに素）であることは知っている。
\(Bou (S) = \overline{S} \cap \overline{T \setminus S} \subseteq \overline{S}\)。
したがって、\(Bou (S)\)は\(T \setminus \overline{S}\)とディスジョイント（互いに素）である。
既に、\(T \setminus \overline{S}\)が\(Int (S)\)とおよび\(Bou (S)\)とディスジョイント（互いに素）であることは知っている。
したがって、\(\{Int (S), Bou (S), T \setminus \overline{S}\}\)はディスジョイント（互いに素）である。
ステップ2:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(t \notin \overline{S}\)であると仮定しよう。
すると、\(t \in T \setminus \overline{S}\)。
\(t \in \overline{S}\)であると仮定しよう。
\(t \notin Int (S)\)である時は、\(Int (S) = T \setminus \overline{T \setminus S}\)であるから、\(t \in \overline{T \setminus S}\)、したがって、\(t \in \overline{S} \cap \overline{T \setminus S} = Bou (S)\)。
したがって、\(t \in Int (S) \cup Bou (S)\)。
したがって、どのケースにおいても、\(t \in Int (S) \cup Bou (S) \cup (T \setminus \overline{S})\)。
