トポロジカルスペース（空間）に対して、ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \in \{T \text{ の全てのノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup_{j \in J} S_j \in \{T \text{ の全てのノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: \(\vert J \vert\)に関してインダクティブ（逐次的）に証明する; ステップ1: それは\(\vert J \vert = 1, 2\)である時に成立することを見る; ステップ2: それは\(1 \le \vert J \vert \le n' - 1\)である時に成立すると仮定し、それは\(\vert J \vert = n'\)である時に成立することを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(J = \{1, ..., n\}\)であるとしよう、一般性を失うこと無く、単に表現たちの便利性のために: \(\vert J \vert = n\)。
\(\vert J \vert = 1\)である時は、それは成立する、なぜなら、\(\cup_{j \in J} S_j = S_1\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である。
\(\vert J \vert = 2\)であると仮定しよう。
\(Int (\overline{\cup_{j \in J} S_j}) = Int (\cup_{j \in J} \overline{S_j})\)、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
以下を満たすある非空オープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(U \subseteq \cup_{j \in J} \overline{S_j}\)、があったと仮定しよう。
\(U_1 := (T \setminus \overline{S_1}) \cap U \subseteq T\)としよう、それはあるオープンサブセット（開部分集合）であることになる。
\(U_1 \subseteq \overline{S_2}\)、なぜなら、各\(p \in U_1\)に対して、\(p \notin \overline{S_1}\)および\(p \in U \subseteq \cup_{j \in J} \overline{S_j}\)、それが意味することになるのは、\(p \in \overline{S_2}\)。
\(U_1 \neq \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(U \subseteq T \setminus (T \setminus \overline{S_1}) = \overline{S_1}\)、それが意味することになるのは、\(S_1\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）でなかったということ、矛盾。
しかし、それが意味することになるのは、\(S_2\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）でなかったということ、矛盾。
したがって、そうした\(U\)は無い。
それが意味するのは、\(Int (\overline{\cup_{j \in J} S_j}) = Int (\cup_{j \in J} \overline{S_j}) = \emptyset\)。
したがって、\(\cup_{j \in J} S_j\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である。
ステップ2:
本命題は、\(1 \le \vert J \vert \le n' - 1\)、ここで、\(n' \le 3\)、である時に成立すると仮定しよう。
\(n = n'\)であると仮定しよう。
\(\cup_{j \in J} S_j = (\cup_{j \in J \setminus \{n'\}} S_j) \cup S_{n'}\)。
当該インダクション（帰納）仮定によって、\(\cup_{j \in J \setminus \{n'\}} S_j\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である、したがって、\((\cup_{j \in J \setminus \{n'\}} S_j) \cup S_{n'}\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である、ステップ1によって。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、任意の\(\vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\cup_{j \in J} S_j\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である。
